Билет № 13 1. Определение треугольника. Виды треугольников. Признаки равенства треугольников (построение). 2. Найдите длину отрезка АМ и градусную меру угла АВК, если ВМ - медиана, ВК - биссектриса треугольника АВС и известно, что АС = 17, а угол АВС равен 84 градуса. 3. D C A AD=CB ∠A= ∠B Билет № 14 1. Определение треугольника. Определение медианы, биссектрисы и высоты (построение). 2. В треугольнике ABC AD – биссектриса, угол C равен 50°, угол CAD равен 28°. Найдите угол В. D C A B 3. Докажите равенство треугольников ADB и BDC.

Билет №13

1. Определение треугольника: Треугольник - это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Эти точки называются вершинами треугольника, а отрезки - сторонами треугольника. Виды треугольников:
   • По углам: остроугольный (все углы острые), прямоугольный (один угол прямой), тупоугольный (один угол тупой).
   • По сторонам: равносторонний (все стороны равны), равнобедренный (две стороны равны), разносторонний (все стороны разной длины).
   Признаки равенства треугольников:
   • По двум сторонам и углу между ними.
   • По стороне и двум прилежащим к ней углам.
   • По трем сторонам.

2. Рассмотрим треугольник ABC, где BM - медиана, BK - биссектриса, AC = 17, ∠ABC = 84°.

   Так как BM - медиана, AM = MC = AC/2 = 17/2 = 8.5

   Т.е. длина отрезка AM равна 8.5.

   Так как BK - биссектриса, ∠ABK = ∠KBC = ∠ABC/2 = 84°/2 = 42°.

   То есть градусная мера угла ABK равна 42 градуса.

3. Дано: AD = CB, ∠A = ∠B

   Доказать: ΔADC = ΔBСD

   Доказательство:

   • Рассмотрим треугольники ADC и BCD.
   • AD = CB (по условию)
   • ∠A = ∠B (по условию)
   • CD - общая сторона

   Но этого недостаточно, чтобы доказать равенство треугольников. Нужно еще одно условие.

   Если подразумевается, что треугольники лежат в одной плоскости, и углы A и B являются углами при основании, то можно сделать вывод, что треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (но угол должен быть между сторонами AD и CD, BC и CD, соответственно). Но из условия это не следует.

Билет №14

1. Определение треугольника: (смотрите билет № 13). Определение медианы: Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Определение биссектрисы: Биссектриса треугольника - это отрезок, выходящий из вершины угла и делящий этот угол пополам. Определение высоты: Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение.

2. В треугольнике ABC AD - биссектриса, ∠C = 50°, ∠CAD = 28°.

   Так как AD - биссектриса, ∠BAD = ∠CAD = 28°.

   ∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 28° + 28° = 56°.

   Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠B = 180° - ∠BAC - ∠C = 180° - 56° - 50° = 74°.

3. Дано: AD ⊥ DB, BC ⊥ DB, AD = BC

   Доказать: ΔADB = ΔBDC

   Доказательство:

   • Рассмотрим треугольники ADB и BDC.
   • AD = BC (по условию)
   • ∠ADB = ∠BDC = 90° (по условию)
   • DB - общая сторона

   Следовательно, треугольники ADB и BDC равны по двум сторонам и углу между ними.