Решение задач из билета №2

Задача 3

Пусть дан параллелограмм ABCD. Диагональ BD образует углы 60° и 55° со сторонами параллелограмма. Нужно найти меньший угол параллелограмма.

Обозначим углы следующим образом: ∠ABD = 60°, ∠CBD = 55°. Тогда ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 60° + 55° = 115°.

В параллелограмме противоположные углы равны, значит ∠ADC = ∠ABC = 115°.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Следовательно, ∠BAD = 180° - ∠ABC = 180° - 115° = 65°.

Также, ∠BCD = ∠BAD = 65°.

Меньший угол параллелограмма равен 65°.

Ответ: 65°

Задача 4

Дано: Окружность, CA - касательная к окружности, дуга AD = 100°.

Найти: ∠ACO.

Решение:

Т.к. CA - касательная к окружности, то угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, заключенной между ними. То есть, ∠CAD = (1/2) * дуга AD = (1/2) * 100° = 50°.

Рассмотрим треугольник ACO. OA - радиус окружности, проведенный в точку касания A. Следовательно, OA перпендикулярна CA, и ∠OAC = 90°.

Теперь, ∠ACO = 180° - ∠OAC - ∠AOC. Чтобы найти ∠AOC, рассмотрим, что ∠AOD - центральный угол, опирающийся на дугу AD. Следовательно, ∠AOD = дуга AD = 100°.

∠AOC и ∠AOD - смежные углы, поэтому ∠AOC = 180° - ∠AOD = 180° - 100° = 80°.

Тогда ∠ACO = 180° - 90° - 80° = 10°.

Ответ: 10°