Билет № 3

1. Определение и свойства прямоугольника

Определение: Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусов).

Свойства прямоугольника:

• Все углы прямые.
• Противоположные стороны равны.
• Диагонали прямоугольника равны.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

2. Теорема Пифагора

Формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Обозначим катеты как a и b, а гипотенузу как c. Тогда теорема Пифагора утверждает, что $$a^2 + b^2 = c^2$$.

Один из способов доказательства: достроим данный треугольник до квадрата со стороной (a+b). Площадь этого квадрата равна $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$.

С другой стороны, этот квадрат состоит из четырех равных прямоугольных треугольников и квадрата со стороной c. Площадь каждого треугольника равна $$\frac{1}{2}ab$$, а площадь квадрата равна $$c^2$$.

Таким образом, площадь большого квадрата также можно выразить как $$4 \cdot \frac{1}{2}ab + c^2 = 2ab + c^2$$.

Приравнивая два выражения для площади большого квадрата, получаем: $$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$.

Сокращая члены 2ab, получаем: $$a^2 + b^2 = c^2$$.

Что и требовалось доказать.

3. Величина вписанного угла, опирающегося на хорду, равную радиусу

Пусть дан вписанный угол $$ \angle ACB = \alpha $$, опирающийся на хорду AB, равную радиусу окружности. Центр окружности обозначим через O.

Так как хорда AB равна радиусу, то треугольник AOB - равносторонний. Следовательно, угол $$\angle AOB = 60^{\circ}$$.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Значит, $$\alpha = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}$$.

Ответ: 30°

4. Угол между высотой и биссектрисой

В треугольнике ABC даны углы: $$\angle A = 20^{\circ}$$ и $$\angle C = 60^{\circ}$$. Следовательно, $$\angle B = 180^{\circ} - 20^{\circ} - 60^{\circ} = 100^{\circ}$$.

Пусть BH - высота, а BD - биссектриса. Нужно найти угол между BH и BD. То есть $$\angle HBD$$.

Так как BD - биссектриса, то $$\angle ABD = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \cdot 100^{\circ} = 50^{\circ}$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем $$\angle A = 20^{\circ}$$, а $$\angle AHB = 90^{\circ}$$. Следовательно, $$\angle ABH = 90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ}$$.

Теперь можем найти угол между высотой BH и биссектрисой BD: $$\angle HBD = |\angle ABH - \angle ABD| = |70^{\circ} - 50^{\circ}| = 20^{\circ}$$.

Ответ: 20°