Билет № 4 1) Сформулируйте определение и свойства ромба. 2) Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле (любой частный случай) 3) В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание. 4) Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если AB=16, DC=24, AC=25.

Решение: 1) Определение и свойства ромба: * _Определение:_ Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. * _Свойства ромба:_ * Все стороны ромба равны. * Противоположные углы ромба равны. * Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов. * Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4. 2) Теорема о вписанном угле: * _Формулировка:_ Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. * Доказательство: (Существует несколько случаев доказательства, в зависимости от расположения центра окружности относительно угла. Необходимо рассмотреть случай, когда центр окружности лежит внутри угла, вне угла и на стороне угла. Общее в доказательстве - использование центрального угла и соотношения между центральным и вписанным углами, опирающимися на одну и ту же дугу). 3) Задача про трапецию: Рассмотрим равнобедренную трапецию. Известна высота $$h = 5$$, большее основание $$a = 14$$, и угол при основании $$\alpha = 45^{\circ}$$. Чтобы найти меньшее основание $$b$$, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания. Т.к. угол при основании равен $$45^{\circ}$$, то второй угол в прямоугольном треугольнике также равен $$45^{\circ}$$ (потому что сумма углов в треугольнике равна $$180^{\circ}$$, а один угол $$90^{\circ}$$). Это означает, что прямоугольный треугольник равнобедренный, и катеты равны. Таким образом, длина отрезка большего основания, прилежащего к высоте, равна высоте, то есть 5. Т.к. у нас два таких отрезка (слева и справа), то вместе они составляют $$5 + 5 = 10$$. Меньшее основание равно большему основанию минус сумма этих двух отрезков: $$b = 14 - 10 = 4$$. Ответ: Меньшее основание равно 4. 4) Задача про отрезки: Дано: $$AB = 16$$, $$DC = 24$$, $$AC = 25$$. Нужно найти $$MC$$. Так как $$AB$$ и $$DC$$ лежат на параллельных прямых, то треугольники $$ABM$$ и $$CDM$$ подобны (по двум углам). Следовательно, соответствующие стороны пропорциональны: $$\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{DC}$$ Пусть $$MC = x$$, тогда $$AM = AC - MC = 25 - x$$. $$\frac{25-x}{x} = \frac{16}{24}$$ $$\frac{25-x}{x} = \frac{2}{3}$$ $$3(25 - x) = 2x$$ $$75 - 3x = 2x$$ $$75 = 5x$$ $$x = 15$$ Следовательно, $$MC = 15$$. Ответ: MC = 15