Билет № 9 60 A K окружности. 1) Дайте определение секущей и касательной Сформулируйте свойство касательной к окружности. Сформулируйте и докажите свойство диагоналей прямоугольника. 2) 3) В треугольнике АВС уголС равен 90°, АС=15, CosA=. Найдите АВ. 7 4) Около трапеции, один из углов которой равен 44°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции. L

Ответ: 21

1. Задание 1
   • Секущая - прямая, пересекающая окружность в двух точках.
   • Касательная - прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
   • Свойство касательной: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
   • Свойство диагоналей прямоугольника: Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Доказательство: Рассмотрим прямоугольник ABCD с диагоналями AC и BD. Треугольники ABC и DCB равны по двум сторонам и углу между ними (AB = DC, BC - общая, угол ABC = углу DCB = 90°). Следовательно, AC = BD. Пусть O - точка пересечения диагоналей. Треугольники ABO и DCO равны по двум сторонам и углу между ними (AO = DO, BO = CO, угол AOB = углу DOC). Следовательно, AO = CO и BO = DO. Таким образом, диагонали в точке пересечения делятся пополам.
2. Задание 3
   • В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) дано AC = 15 и cos(A) = 5/7.
   • Косинус угла A равен отношению прилежащего катета AC к гипотенузе AB: cos(A) = AC / AB.
   • AB = AC / cos(A) = 15 / (5/7) = 15 * (7/5) = 3 * 7 = 21.
3. Задание 4
   • В трапеции, описанной около окружности, сумма противоположных углов равна 180°.
   • Один из углов равен 44°. Пусть это угол A.
   • Тогда угол C = 180° - 44° = 136°.
   • Угол B = углу D = (360° - 44° - 136°) / 2 = (360° - 180°) / 2 = 180° / 2 = 90°.
   • Тогда углы трапеции равны 44°, 136°, 90°, 90°.

Ответ: 21