Билет №7

1. Определения медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника - это отрезок, проведенный из вершины угла треугольника к противоположной стороне и делящий этот угол пополам.

Высота треугольника - это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

2. Признаки параллельных прямых.

Пусть две прямые пересечены третьей. Тогда прямые параллельны, если:

• Соответственные углы равны.
• Накрест лежащие углы равны.
• Сумма односторонних углов равна 180°.

Доказательство одного из признаков (например, равенства накрест лежащих углов):

Дано: прямые a и b пересечены прямой c; ∠1 = ∠2 (накрест лежащие углы).

Доказать: a || b.

Доказательство: Предположим, что a и b не параллельны, то есть пересекаются в некоторой точке, например, O. Тогда образовался треугольник, у которого внешний угол равен внутреннему углу, не смежному с ним. Но по теореме о внешнем угле треугольника внешний угол всегда больше внутреннего угла, не смежного с ним. Получили противоречие. Следовательно, a || b.

3. Нахождение боковой стороны равнобедренного треугольника.

Пусть P - периметр равнобедренного треугольника, a - основание, b - боковая сторона.

Известно: P = 19 см, a = 7 см.

Нужно найти: b.

Решение:

Периметр равнобедренного треугольника вычисляется по формуле: $$P = a + 2b$$

Выразим боковую сторону b:

$$2b = P - a$$

$$b = \frac{P - a}{2}$$

Подставим известные значения:

$$b = \frac{19 - 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

Ответ: Боковая сторона треугольника равна 6 см.

4. Нахождение длины катета в прямоугольном треугольнике.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, угол A = 60°, биссектриса AD, AD = 8 см. Необходимо найти катет BC, лежащий против угла A.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABD. Так как AD - биссектриса угла A, то угол BAD = углу CAD = 60° / 2 = 30°.

2. В треугольнике ABD сумма углов равна 180°. Следовательно, угол ADB = 180° - угол BAD - угол B.

3. Угол B = 90° - угол A = 90° - 60° = 30°.

4. Тогда угол ADB = 180° - 30° - 30° = 120°.

5. Применим теорему синусов для треугольника ABD:

$$\frac{BD}{sin(∠BAD)} = \frac{AD}{sin(∠ABD)}$$

$$\frac{BD}{sin(30°)} = \frac{8}{sin(30°)}$$

$$BD = 8$$

6. Рассмотрим треугольник BCD. Угол BCD = 90°, угол BDC = 180° - угол ADB = 180° - 120° = 60°. Угол CBD = 30°.

7. $$BC = BD * sin(∠BDC) = 8 * sin(60°) = 8 * \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$

Ответ: Длина катета, лежащего против угла 60°, равна $$4\sqrt{3}$$ см.