Билет 11. 1. Определение окружности. Центр, радиус, хорда, диаметр и дуга окружности. 2. Доказать свойство углов при основании равнобедренного треугольника. 3. На рисунке ∠ABC = ∠DCB = 90°, AC = BD. Доказать, что АВ = CD. 4. Высоты остроугольного треугольника NPT, проведённые из вершин № и Р, пересекаются в точке К, ∠T = 56°. Найдите Z NKP.

Рассмотрим задачу №3:

Дано: ∠ABC = ∠DCB = 90°, AC = BD.

Доказать: AB = CD.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и DCB:

• AC = BD (по условию).
• BC - общая сторона.
• ∠ABC = ∠DCB = 90° (по условию).

Следовательно, треугольники ABC и DCB равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть AB = CD.

Что и требовалось доказать.

Ответ: AB = CD

Теперь рассмотрим задачу №4:

В остроугольном треугольнике NPT высоты, проведённые из вершин N и P, пересекаются в точке K. ∠T = 56°. Найдем ∠NKP.

Решение:

Пусть NA и PB - высоты треугольника NPT, где A лежит на стороне PT, а B лежит на стороне NT. Так как NA и PB высоты, то ∠NAT = 90° и ∠PBT = 90°.

Рассмотрим четырехугольник ATBK. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Тогда:

$$∠ATB + ∠TNA + ∠TBP + ∠AKB = 360°$$

$$90° + 56° + 90° + ∠AKB = 360°$$

$$∠AKB = 360° - 90° - 90° - 56° = 124°$$

∠AKB и ∠NKP являются вертикальными углами, а вертикальные углы равны. Следовательно, ∠NKP = ∠AKB = 124°.

Ответ: ∠NKP = 124°