Билет 1. 1. Определение отрезка. Обозначение отрезка. Середина отрезка. Построение середины отрезка с помощью циркуля и линейки. (без доказательства) 2. Доказать признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. 3. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 72°. Найдите угол при вершине.

1. Определение отрезка:

Отрезок — это прямая линия, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка.

Обозначение отрезка:

Отрезок обозначается двумя заглавными буквами, соответствующими его концам, например, AB. Также можно обозначить отрезок одной строчной буквой.

Середина отрезка:

Середина отрезка — это точка, делящая отрезок на две равные части. Эта точка равноудалена от концов отрезка.

Построение середины отрезка с помощью циркуля и линейки (без доказательства):

1. Дано: Отрезок AB.
2. Построение:
• Установите циркуль в точке A и проведите дугу радиусом больше половины длины отрезка AB.
• Не меняя радиуса, установите циркуль в точке B и проведите дугу, пересекающую первую дугу в двух точках, например, C и D.
• Проведите прямую линию через точки C и D. Эта прямая пересечет отрезок AB в точке O.
• Точка O является серединой отрезка AB.

2. Доказать признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Теорема:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

1. Дано: Два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁.
2. Требуется доказать: ΔABC = ΔA₁B₁C₁.
3. Доказательство:
• Наложим треугольник ABC на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, а сторона AB наложилась на сторону A₁B₁. Так как AB = A₁B₁, то вершина B совпадет с вершиной B₁.
• По условию ∠A = ∠A₁, следовательно, сторона AC наложится на сторону A₁C₁. Так как AC = A₁C₁, то вершина C совпадет с вершиной C₁.
• Таким образом, все три вершины треугольника ABC совпадают с соответствующими вершинами треугольника A₁B₁C₁, следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ полностью совпадают и равны.
4. Что и требовалось доказать.

3. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 72°. Найдите угол при вершине.

Решение:

Сумма углов в треугольнике равна 180°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть угол при вершине равен x.

$$72° + 72° + x = 180°$$

$$144° + x = 180°$$

$$x = 180° - 144°$$

$$x = 36°$$

Ответ: 36°