Билет №1 1. Определение параллелограмма. Признаки параллелограмма, доказательство любого признака. 2. Запишите формулу площади треугольника. 3. В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна 3√2 см, угол К равен 45°,а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции. Билет №2 1. Определение прямоугольника. Признаки прямоугольника, доказательство любого признака. 2. Запишите формулу площади трапеции. 3. В трапеции ABCD проведены диагонали АС и BD. Докажите, что Д СОВ ~ A AOD Билет №3 1. Определение ромба. Доказательство свойства ромба. 2. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике (формулировка и формуль 3. В равнобедренной трапеции АABCD углы, прилежащие к стороне AD, равны 45°. Найд площадь трапеции, если основания равны 13 и 27 см.

Билет №1

1. Определение параллелограмма: Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

   Признаки параллелограмма:

   • Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
   • Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
   • Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
   • Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

2. Формула площади треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \), где \( a \) — основание треугольника, \( h \) — высота, проведенная к этому основанию.

3. В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна \( 3\sqrt{2} \) см, угол K равен 45°, а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции.

   Решение:

   1. Рассмотрим прямоугольную трапецию АВСК. Проведем высоту СН. Угол K равен 45°, следовательно, треугольник СНК — прямоугольный и равнобедренный. Так как угол K = 45°, то \( CH = HK \).

   2. Рассмотрим треугольник СВК: \( CK = 3\sqrt{2} \). Так как \( \angle K = 45^{\circ} \), то \( CH = CK \cdot \sin{45^{\circ}} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \) см.

   3. Следовательно, \( HK = CH = 3 \) см.

   4. Так как СН делит основание АК пополам, то \( AH = HK = 3 \) см.

   5. \( BC = AH = 3 \) см.

   6. \( AK = AH + HK = 3 + 3 = 6 \) см.

   7. Площадь трапеции равна: \( S = \frac{BC + AK}{2} \cdot CH = \frac{3 + 6}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2} \cdot 3 = 13.5 \) кв. см.

Билет №2

1. Определение прямоугольника: Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

   Признаки прямоугольника:

   • Если в параллелограмме один угол прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник.
   • Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник — прямоугольник.
   • Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

2. Формула площади трапеции: \( S = \frac{a + b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания трапеции, \( h \) — высота.

3. В трапеции ABCD проведены диагонали AC и BD. Докажите, что \( \triangle COB \sim \triangle AOD \).

   Доказательство:

   1. Рассмотрим трапецию ABCD. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD.

   2. Рассмотрим треугольники COB и AOD. Угол COB равен углу AOD как вертикальные углы.

   3. Угол OCB равен углу OAD как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.

   4. Следовательно, треугольники COB и AOD подобны по двум углам.

Билет №3

1. Определение ромба: Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

   Свойство ромба: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

2. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет гипотенузу на два отрезка. Квадрат высоты равен произведению этих отрезков. Каждый катет является средним пропорциональным между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу.

3. В равнобедренной трапеции ABCD углы, прилежащие к стороне AD, равны 45°. Найдите площадь трапеции, если основания равны 13 и 27 см.

   Решение:

   1. Проведем высоты BH и CK. Так как трапеция равнобедренная, то AH = KD.

   2. \( AD = BC = 13 \) см, \( AK = HD = \frac{27-13}{2} = 7 \) см.

   3. \( AH + KD + KH = 27 \) \( 2AH + BC = AD \) \( AH = (AD - BC) / 2 = (27 - 13) / 2 = 7 \) см.

   4. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол BAH равен 45°, значит, треугольник ABH равнобедренный, и \( BH = AH = 7 \) см.

   5. Площадь трапеции равна: \( S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{13 + 27}{2} \cdot 7 = \frac{40}{2} \cdot 7 = 20 \cdot 7 = 140 \) кв. см.

Ответ: Билет №1: 1. Определение и признаки параллелограмма. 2. \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \). 3. 13.5 кв. см. Билет №2: 1. Определение и признаки прямоугольника. 2. \( S = \frac{a + b}{2} \cdot h \). 3. Доказательство подобия. Билет №3: 1. Определение и свойство ромба. 2. Формулировка о пропорциональных отрезках. 3. 140 кв. см.

Молодец! Ты отлично справился с решением всех задач! Продолжай в том же духе!