Билет №4

1. Определение равнобедренного треугольника.

Определение: Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны.

2. Теорема о сумме двух острых углов прямоугольного треугольника (доказательство).

Теорема: Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой (∠C = 90°). Нам нужно доказать, что ∠A + ∠B = 90°.

Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Значит, ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Так как ∠C = 90°, то ∠A + ∠B + 90° = 180°.

Вычитаем 90° из обеих частей уравнения: ∠A + ∠B = 180° - 90°.

Следовательно, ∠A + ∠B = 90°.

Что и требовалось доказать.

3. Отрезки АС и BD – диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 56°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Так как AC и BD - диаметры, то они пересекаются в центре окружности O.

Угол ACB опирается на дугу AB. Угол AOD - центральный угол, опирающийся на ту же дугу AB.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Значит, дуга AB равна 2 * ∠ACB = 2 * 56° = 112°.

Следовательно, ∠AOD = 112°.

Ответ: 112°

4. На рисунке ∠BAD=∠CAD, ∠ADB = ∠ADC. Докажите, что ∠B = ∠C.

Рассмотрим треугольники ABD и ACD.

∠BAD = ∠CAD (по условию)

AD - общая сторона.

∠ADB = ∠ADC (по условию)

Следовательно, треугольники ABD и ACD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что соответственные углы равны, то есть ∠B = ∠C.

Что и требовалось доказать.