Билет №5. 1. Определение равностороннего треугольника. 2. Сформулируйте и докажите признак параллельности двух прямых по внутренним односторонним углам. 3. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 47°. Найдите второй острый угол. 4. На рисунке AB = AD, CB = CD. Докажите, что O - середина BD.

Решение задачи 3:

В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Пусть один острый угол равен 47°. Тогда второй острый угол равен:

$$90^{\circ} - 47^{\circ} = 43^{\circ}$$

Ответ: 43°

Решение задачи 4:

Дано: AB = AD, CB = CD. O - точка пересечения AC и BD.

Доказать: O - середина BD, то есть BO = OD.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ABC и ADC. У них:
   • AB = AD (по условию)
   • CB = CD (по условию)
   • AC - общая сторона.

   Следовательно, треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

2. Из равенства треугольников ABC и ADC следует равенство соответствующих углов, то есть ∠BAC = ∠DAC и ∠BCA = ∠DCA. Это означает, что AC - биссектриса углов ∠BAD и ∠BCD.
3. Теперь рассмотрим треугольники ABO и ADO. У них:
   • AB = AD (по условию)
   • ∠BAO = ∠DAO (так как AC - биссектриса угла ∠BAD)
   • AO - общая сторона.

   Следовательно, треугольники ABO и ADO равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Из равенства треугольников ABO и ADO следует равенство соответствующих сторон, то есть BO = DO. Это означает, что точка O - середина отрезка BD.

Что и требовалось доказать.