Билет №1 1. Параллелограмм и его свойства (доказательств одного из них) 2. Средняя линия треугольника. Теорема о средней линии треугольника. 3. Площадь прямоугольника равна 75 см². Найдите стороны этого прямоугольника, если одна из них в три раза больше другой. 4. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Вычислите высоту, проведённую к гипотенузе.

Задача 3:

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $$x$$ см, тогда большая сторона равна $$3x$$ см.

Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон: $$S = a * b$$, где $$a$$ и $$b$$ - длины сторон прямоугольника.

В данном случае, $$S = x * 3x = 75$$ см².

Решаем уравнение: $$3x^2 = 75$$

Делим обе части на 3: $$x^2 = 25$$

Извлекаем квадратный корень: $$x = 5$$ см (так как длина не может быть отрицательной).

Тогда меньшая сторона равна 5 см, а большая сторона равна $$3 * 5 = 15$$ см.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 5 см и 15 см.

Задача 4:

Пусть катеты прямоугольного треугольника $$a = 6$$ см и $$b = 8$$ см.

Сначала найдем гипотенузу $$c$$ по теореме Пифагора: $$c^2 = a^2 + b^2$$

$$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$

$$c = \sqrt{100} = 10$$ см.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами: через катеты и через гипотенузу и высоту, проведенную к ней.

$$S = \frac{1}{2} * a * b = \frac{1}{2} * c * h$$, где $$h$$ - высота, проведенная к гипотенузе.

Подставляем известные значения: $$\frac{1}{2} * 6 * 8 = \frac{1}{2} * 10 * h$$

$$24 = 5 * h$$

$$h = \frac{24}{5} = 4.8$$ см.

Ответ: Высота, проведенная к гипотенузе, равна 4.8 см.