Билет №4 1. Параллелограмм (определение). Площадь параллелограмма. 2.Теорема о сумме углов треугольника (с доказательством) 3.Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 12 см и 16 см. 4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её основания равны 8 см и 12 см, а боковая сторона – 10 см.

Привет! Сейчас разберёмся с этими задачками из билета №4. Смотри, всё не так сложно, как кажется! 1. Параллелограмм (определение). Площадь параллелограмма. * Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. * Площадь параллелограмма можно найти несколькими способами: * Через основание и высоту: \[S = a \cdot h\] , где \(a\) — основание, \(h\) — высота, проведённая к этому основанию. * Через две стороны и угол между ними: \[S = a \cdot b \cdot sin(\alpha)\] , где \(a\) и \(b\) — стороны, \(\alpha\) — угол между ними. * Через диагонали и угол между ними: \[S = \frac{1}{2} d_1 d_2 sin(\gamma)\] , где \(d_1\) и \(d_2\) — диагонали, \(\gamma\) — угол между ними. 2. Теорема о сумме углов треугольника (с доказательством) * Теорема гласит, что сумма всех углов треугольника всегда равна 180 градусам. Это верно для любого треугольника, независимо от его формы или размеров. * Доказательство: 1. Возьмём треугольник \(\triangle ABC\). 2. Проведём через вершину \(B\) прямую \(a\), параллельную стороне \(AC\). 3. Получим, что углы \(\angle 1\) и \(\angle A\) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \(a\) и \(AC\) и секущей \(AB\), следовательно, \(\angle 1 = \angle A\). 4. Аналогично, углы \(\angle 3\) и \(\angle C\) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \(a\) и \(AC\) и секущей \(BC\), следовательно, \(\angle 3 = \angle C\). 5. Угол \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ\) (развёрнутый угол). 6. Значит, \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\). 3. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 12 см и 16 см. * Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Получается четыре прямоугольных треугольника. * Рассмотрим один из таких треугольников. Его катеты равны половине диагоналей, то есть 6 см и 8 см. * По теореме Пифагора, найдём гипотенузу (сторону ромба): \[a = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\]

Ответ: Сторона ромба равна 10 см.

4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её основания равны 8 см и 12 см, а боковая сторона — 10 см. * Проведём высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Получим два одинаковых прямоугольных треугольника и прямоугольник. * Отрезок большего основания, который остался после проведения высот, равен \(12 - 8 = 4\) см. Так как трапеция равнобедренная, каждый из отрезков равен \(\frac{4}{2} = 2\) см. * Теперь найдём высоту трапеции, используя теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников: * \(h = \sqrt{10^2 - 2^2} = \sqrt{100 - 4} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}\) * Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: * \[S = \frac{8 + 12}{2} \cdot 4\sqrt{6} = 10 \cdot 4\sqrt{6} = 40\sqrt{6}\]

Ответ: Площадь трапеции равна \(40\sqrt{6}\) см².