Билет №6. 1. Равнобедренный треугольник (определение). Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника. Сделайте чертежи. 2. Биссектриса угла (определение). Докажите свойство точки, принадлежащей биссектрисе угла.

1. Равнобедренный треугольник

• Определение: Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона - основанием.
• Свойства:
  • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  • В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.
• Чертеж:
  • AB = BC = a (боковые стороны)
  • AC = b (основание)
  • CD - биссектриса, медиана, высота

2. Биссектриса угла

• Определение: Биссектриса угла - это луч, который выходит из вершины угла и делит угол на два равных угла.
• Свойство точки, принадлежащей биссектрисе угла: Каждая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла.

Пусть дан угол \( \angle AOB \) и биссектриса \( OC \). Возьмем произвольную точку \( M \) на биссектрисе \( OC \). Опустим перпендикуляры \( MP \) и \( MQ \) на стороны угла \( OA \) и \( OB \) соответственно. Рассмотрим треугольники \( \triangle OMP \) и \( \triangle OMQ \).

В этих треугольниках:

• \( \angle MOP = \angle MOQ \) (так как \( OC \) - биссектриса).
• \( \angle OPM = \angle OQM = 90^{\circ} \) (так как \( MP \) и \( MQ \) - перпендикуляры).
• Сторона \( OM \) - общая.

Следовательно, \( \triangle OMP = \triangle OMQ \) по углу и гипотенузе. Из равенства треугольников следует, что \( MP = MQ \), то есть точка \( M \) равноудалена от сторон угла \( \angle AOB \).

Таким образом, свойство точки, принадлежащей биссектрисе угла, доказано.