Билет №4, 1) Сформулировать определение и свойства равнобедренного треугольника, 2) Доказать теоремы о свойстве смежных и вертикальных углов. 3) Треугольники ABC и DEF равны, стороны АВ и DE, BC и DF соответственные, угол Д равен 32°. Найдите угол В.

Разберем решение задачи из билета №4.

1. Сформулируем определение и свойства равнобедренного треугольника.

   Определение: Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием.

   Свойства:

   • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
   • В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины, является медианой и высотой.
2. Докажем теоремы о свойстве смежных и вертикальных углов.

   Теорема о смежных углах: Сумма смежных углов равна 180 градусам.

   Доказательство: Пусть даны смежные углы ∠1 и ∠2. Они образуют развернутый угол, который равен 180°. Следовательно, ∠1 + ∠2 = 180°.

   Теорема о вертикальных углах: Вертикальные углы равны.

   Доказательство: Пусть даны вертикальные углы ∠1 и ∠3, образованные при пересечении двух прямых. ∠1 и ∠2 – смежные, и ∠2 и ∠3 – смежные. Тогда ∠1 + ∠2 = 180° и ∠2 + ∠3 = 180°. Следовательно, ∠1 = 180° - ∠2 и ∠3 = 180° - ∠2, то есть ∠1 = ∠3.

3. Найдем угол В.

   Так как треугольники ABC и DEF равны, а стороны AB и DE, BC и DF соответственные, то углы при соответствующих вершинах также равны. Значит, угол D соответствует углу A, угол E соответствует углу B, угол F соответствует углу C.

   Дано, что угол D равен 32°. Следовательно, угол A также равен 32°.

   $$∠A = ∠D = 32°$$

   Так как сумма углов треугольника равна 180°, то для треугольника ABC имеем:

   $$∠A + ∠B + ∠C = 180°$$

   Не хватает данных, чтобы найти угол B. Предположим, что треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC. Тогда углы при основании равны, то есть ∠A = ∠C. Следовательно,

   $$∠C = 32°$$

   Теперь можем найти угол B:

   $$∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 32° - 32° = 180° - 64° = 116°$$

Ответ: Если треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то угол B равен 116°.