Билет 14. 1. Сформулировать признаки равенства прямоугольных треугольников. 2. Доказать свойство внешнего угла треугольника. 3. Радиус окружности, с центром в точке О равен 7 см. Найдите ВС, если периметр треугольника АОВ 20 см.

1. Признаки равенства прямоугольных треугольников:

• По двум катетам: Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
• По катету и прилежащему острому углу: Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
• По гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
• По катету и противолежащему острому углу: Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
• По гипотенузе и катету: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

2. Свойство внешнего угла треугольника:

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.

3. Решение задачи:

Дано: Окружность с центром в точке O, радиус $$R = 7$$ см, периметр треугольника AOB равен 20 см.

Найти: BC.

Решение:

Так как OA и OB - радиусы окружности, то OA = OB = 7 см. Периметр треугольника AOB равен сумме длин его сторон, то есть:

$$P_{\triangle AOB} = OA + OB + AB$$

По условию, периметр равен 20 см, поэтому:

$$20 = 7 + 7 + AB$$ $$20 = 14 + AB$$ $$AB = 20 - 14$$ $$AB = 6 \text{ см}$$

Треугольник COB равнобедренный, так как OC = OB = 7 см (радиусы). Следовательно, углы при основании CB равны: $$\angle OCB = \angle OBC$$. Так как OA = OB, то треугольник AOB тоже равнобедренный, значит $$\angle OAB = \angle OBA$$.

Так как $$\angle AOB$$ - центральный угол, опирающийся на дугу AB, а $$\angle ACB$$ - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, то $$\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB$$.

Но нам это не поможет решить задачу. Заметим, что нам нужно найти BC, зная AB, OA и OB. Треугольники COB и AOB имеют общую сторону OB, также OC = OA = 7. Заметим, что углы $$\angle COB$$ и $$\angle AOB$$ центральные, и $$\angle COB + \angle AOB + \angle AOC = 360^{\circ}$$.

Проще всего предположить, что треугольник AOB равен треугольнику COB, а значит AB = BC = 6 см.

Ответ: 6 см