Билет №1

1. Выпуклый многоугольник, периметр и диагональ. Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника.

Выпуклый многоугольник – это многоугольник, который целиком лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Другими словами, если взять любую сторону многоугольника и провести прямую, содержащую эту сторону, то весь многоугольник окажется по одну сторону от этой прямой.

Периметр многоугольника – это сумма длин всех его сторон.

Диагональ многоугольника – это отрезок, соединяющий две несмежные вершины многоугольника.

Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника: Сумма углов выпуклого $$n$$-угольника равна $$(n-2) \cdot 180^\circ$$, где $$n$$ - количество углов (и сторон) многоугольника.

Доказательство:

Возьмем произвольный выпуклый $$n$$-угольник. Из какой-нибудь одной его вершины можно провести диагонали ко всем остальным вершинам, кроме двух соседних с выбранной. Таким образом, число диагоналей, проведенных из одной вершины, равно $$n-3$$. Эти диагонали разделят $$n$$-угольник на $$n-2$$ треугольника.

Сумма углов каждого треугольника равна $$180^\circ$$. Следовательно, сумма углов всех треугольников равна $$(n-2) \cdot 180^\circ$$. Так как углы этих треугольников составляют все углы исходного $$n$$-угольника, то сумма углов $$n$$-угольника равна $$(n-2) \cdot 180^\circ$$.

2. Признаки подобия треугольников.

Существует три основных признака подобия треугольников:

1. Первый признак (по двум углам): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Второй признак (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
3. Третий признак (по трем сторонам): Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

3. Задача.

(Условие задачи должно быть предоставлено дополнительно)