Билет №9. 1. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников. Сделайте чертежи. 2. Сформулируйте и докажите свойства равнобедренного треугольника. 3. Задача: На биссектрисе угла А взята точка Е, а на сторонах этого угла точки В и С такие, что угол АЕС равен углу АЕВ. Доказать, что ВЕ равно СЕ.

1. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников. Сделайте чертежи.

   • Признак 1 (по двум катетам): Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
   • Признак 2 (по катету и прилежащему острому углу): Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
   • Признак 3 (по гипотенузе и острому углу): Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
   • Признак 4 (по катету и противолежащему острому углу): Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
   • Признак 5 (по гипотенузе и катету): Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

2. Сформулируйте и докажите свойства равнобедренного треугольника.

   • Свойство 1: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
   • Свойство 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины, является медианой и высотой.
   • Доказательство:
     • Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC.
     • Проведём биссектрису AD из вершины A.
     • Рассмотрим треугольники ABD и ACD.
     • AB = AC (по условию), ∠BAD = ∠CAD (так как AD - биссектриса), AD - общая сторона.
     • Следовательно, треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
     • Из равенства треугольников следует, что BD = CD (AD - медиана) и ∠ADB = ∠ADC.
     • Так как ∠ADB и ∠ADC смежные, и ∠ADB = ∠ADC, то ∠ADB = ∠ADC = 90°. Следовательно, AD - высота.

3. Задача: На биссектрисе угла A взята точка E, а на сторонах этого угла точки B и C такие, что угол AEC равен углу AEB. Доказать, что BE равно CE.

   • Доказательство:
     1. Так как AE - биссектриса угла A, то ∠BAE = ∠CAE.
     2. Угол ∠AEB = углу ∠AEC (по условию).
     3. Рассмотрим треугольники ABE и ACE.
     4. AE - общая сторона, ∠BAE = ∠CAE, ∠AEB = ∠AEC.
     5. Следовательно, треугольники ABE и ACE равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).
     6. Из равенства треугольников следует, что BE = CE.

Математический Гений

Сэкономил время — спас вечер. Иди чиллить, ты это заслужил

Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена