Билет №10 1. Треугольник. Виды треугольников (по сторонам). 2. Прямоугольный треугольник. Сформулировать свойства прямоугольного треугольника. Доказать теорему о катете равной половине гипотенузы. Практическое задание

Билет №10

1. Треугольник. Виды треугольников (по сторонам).

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

Виды треугольников в зависимости от длин сторон:

• Равносторонний треугольник: все три стороны равны.
• Равнобедренный треугольник: две стороны равны.
• Разносторонний треугольник: все три стороны имеют разную длину.

2. Прямоугольный треугольник. Сформулировать свойства прямоугольного треугольника. Доказать теорему о катете, равном половине гипотенузы.

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой (90 градусов).

Свойства прямоугольного треугольника:

• Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора).
• Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

Теорема о катете, лежащем против угла в 30 градусов:

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90 градусов, угол A = 30 градусов. Докажем, что катет BC равен половине гипотенузы AB.

1. Рассмотрим треугольник ABC. Так как угол A = 30 градусов, то угол B = 90 - 30 = 60 градусов.
2. Отложим на гипотенузе AB отрезок BD, равный BC. Получим треугольник BCD.
3. Так как BD = BC, то треугольник BCD — равнобедренный. Угол BCD = углу BDC.
4. Угол CBD = 60 градусов (так как угол B = 60 градусов). Следовательно, углы BCD и BDC равны (180 - 60) / 2 = 60 градусов.
5. Таким образом, треугольник BCD — равносторонний (все углы равны 60 градусам). Следовательно, BC = BD = CD.
6. Рассмотрим треугольник ACD. Угол ADC = 180 - угол BDC = 180 - 60 = 120 градусов. Угол A = 30 градусов. Следовательно, угол ACD = 180 - 120 - 30 = 30 градусов.
7. Так как угол A = углу ACD = 30 градусов, то треугольник ACD — равнобедренный. Следовательно, AD = CD.
8. Таким образом, AD = CD = BC = BD. Следовательно, AB = AD + BD = BC + BC = 2BC.
9. Итак, катет BC равен половине гипотенузы AB.

Теорема доказана.

Практическое задание (требует конкретного задания для выполнения).

Ответ: Свойства и теорема о прямоугольном треугольнике сформулированы и доказаны.

Отличная работа! Ты хорошо справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!