Билет 1. 1. Свойства степени с рациональным показателем. 2. А) Для функции f (x) = x^3 + 2x^2 - 1 найдите f (0), f (1), f (-3), f (5). Б) Постройте график функции y = x^2 - 2. 3. 1) 0,1^(2x-3) = 10; 2) 9^x - 7*3^x - 18 = 0.

Билет 1

1. Свойства степени с рациональным показателем.

Ключевые свойства степени с рациональным показателем:

• Основное свойство: \( (a^m)^n = a^{m
  } \)
• Произведение степеней: \( a^m
  a^n = a^{m+n} \)
• Частное степеней: \( a^m : a^n = a^{m-n} \)
• Степень произведения: \( (ab)^n = a^n b^n \)
• Степень частного: \( (a:b)^n = a^n : b^n \)
• Степень с отрицательным показателем: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
• Степень с нулевым показателем: \( a^0 = 1 \) (при \( a \neq 0 \))

2. А) Для функции \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 1 \) найдите \( f(0), f(1), f(-3), f(5) \).

Подставим значения \( x \) в функцию:

• \( f(0) = 0^3 + 2(0)^2 - 1 = 0 + 0 - 1 = -1 \)
• \( f(1) = 1^3 + 2(1)^2 - 1 = 1 + 2 - 1 = 2 \)
• \( f(-3) = (-3)^3 + 2(-3)^2 - 1 = -27 + 2(9) - 1 = -27 + 18 - 1 = -10 \)
• \( f(5) = 5^3 + 2(5)^2 - 1 = 125 + 2(25) - 1 = 125 + 50 - 1 = 174 \)

2. Б) Постройте график функции \( y = x^2 - 2 \).

Это график параболы, ветви которой направлены вверх. График функции \( y = x^2 \) смещён на 2 единицы вниз вдоль оси \( y \).

3. Решение уравнений:

1. \( 0,1^{2x-3} = 10 \)

Перепишем \( 0,1 \) как \( 10^{-1} \):

\( (10^{-1})^{2x-3} = 10^1 \)

\( 10^{-(2x-3)} = 10^1 \)

\( -2x + 3 = 1 \)

\( -2x = 1 - 3 \)

\( -2x = -2 \)

\( x = 1 \)

2. \( 9^x - 7
   3^x - 18 = 0 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( t = 3^x \). Тогда \( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 = t^2 \).

Уравнение примет вид:

\( t^2 - 7t - 18 = 0 \)

Решим квадратное уравнение для \( t \):

Дискриминант \( D = (-7)^2 - 4(1)(-18) = 49 + 72 = 121 \).

\( t_1 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2} = \frac{7 + 11}{2} = 9 \)

\( t_2 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2} = \frac{7 - 11}{2} = -2 \)

Теперь вернёмся к замене \( t = 3^x \):

\( 3^x = 9 \) или \( 3^x = -2 \).

\( 3^x = 3^2 \) => \( x = 2 \).

Уравнение \( 3^x = -2 \) не имеет решений, так как \( 3^x \) всегда больше нуля.

Ответ: 1) x = 1; 2) x = 2.