Билет № 1 ФИ

Билет № 1 ФИ

• 1. Многоугольник - это замкнутая ломаная линия, состоящая из отрезков, которые называются сторонами. Вершины - точки, в которых сходятся стороны. Диагонали - отрезки, соединяющие вершины, не являющиеся соседними. Периметр - сумма длин всех сторон. Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n-2) * 180 градусов.
• 2. Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна половине её длины.
• 3. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: S = 1/2 * a * h. S = 1/2 * 14 * 31 = 7 * 31 = 217.
• 4. Треугольник ABC. Окружность пересекает AB в K, AC в P. Проходит через B и C. AP=21. BC = 1.5 * AB. Подобные треугольники ABC и AKP. AK/AB = AP/AC = KP/BC. Треугольник BPC - вписанный, угол BPC = 90 градусов. Если BC = 1.5 AB, то AB = 2/3 BC.

Билет № 2 ФИ

• 1. Параллелограмм - четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Свойства: противоположные стороны равны; противоположные углы равны; диагонали пересекаются в точке и делятся пополам; сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 180 градусов.
• 2. Теорема о свойстве медиан треугольника: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
• 3. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: S = 1/2 * a * b. S = 1/2 * 6 * 7 = 3 * 7 = 21.
• 4. Окружность с центром на AC. Проходит через C, касается AB в B. Диаметр = 16, радиус R = 8. AB = 15. Угол ABC = 90 градусов. Треугольник ABC - прямоугольный. AC - гипотенуза. Центр окружности O лежит на AC. OC = OB = R = 8. Треугольник OBC - равнобедренный.

Билет № 3 ФИ

• 1. Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые. Свойства: противоположные стороны равны; диагонали равны и пересекаются в точке, делятся пополам.
• 2. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. a^2 + b^2 = c^2.
• 3. Площадь треугольника ABC: S = 1/2 * AB * BC * sin(∠ABC). S = 1/2 * 6 * 10 * (1/3) = 1/2 * 20 * (1/3) = 10/3.
• 4. AB || DC. AC и BD пересекаются в точке M. Треугольники ABM и CDM подобны (по двум углам: ∠AMB = ∠CMD как вертикальные, ∠MAB = ∠MCD как накрест лежащие при параллельных AB, DC и секущей AC). Отношение подобия k = CD/AB = 22/11 = 2. Значит, CM/AM = DM/BM = CD/AB = 2. AC = AM + MC = 27. MC = 2 * AM. AM + 2 * AM = 27. 3 * AM = 27. AM = 9. MC = 2 * 9 = 18.

Билет № 4 ФИ

• 1. Ромб - это четырехугольник, у которого все стороны равны. Свойства: все стороны равны; противоположные углы равны; диагонали взаимно перпендикулярны и делятся пополам; диагонали являются биссектрисами углов.
• 2. Теорема о вписанном угле: Величина вписанного угла, опирающегося на дугу, равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Частный случай: вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90 градусов.
• 3. Гипотенуза прямоугольного треугольника: c = sqrt(a^2 + b^2). c = sqrt(20^2 + 21^2) = sqrt(400 + 441) = sqrt(841) = 29.
• 4. Хорды AB=16, CD=? Расстояние от центра до AB = 15. Расстояние от центра до CD = 8. Радиус окружности R. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, половиной хорды и расстоянием от центра до хорды: R^2 = (AB/2)^2 + d1^2 = (16/2)^2 + 15^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289. R = sqrt(289) = 17. Для хорды CD: R^2 = (CD/2)^2 + d2^2. 17^2 = (CD/2)^2 + 8^2. 289 = (CD/2)^2 + 64. (CD/2)^2 = 289 - 64 = 225. CD/2 = sqrt(225) = 15. CD = 2 * 15 = 30.