Билет №10: 1) Какие углы называются смежными? Чему равна сумма смежных углов? 2) Второй признак равенства треугольников. 3) Доказательство теоремы о свойстве катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°. Тема «Параллельные прямые»: а) Отрезки AB и CD — диаметры некоторой окружности. Докажите, что прямые AC и BD параллельны; б) Точки B и D лежат по разные стороны от прямой AC. Известно, что AB ∥ DC, AD ∥ BC. Докажите, что ∠ABC = ∠ADC, AB = DC, AD = BC; в) На биссектрисе BD равнобедренного треугольника ABC взята точка E. Через эту точку проведены прямые, параллельные сторонам AB и BC и пересекающие основание AC в точках H и K. Докажите, что AH = KC.

1. Смежные углы — два угла с общей вершиной и общей стороной, у которых две другие стороны являются противоположными лучами. Их сумма равна \(180^\circ\).

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Пусть \(ABC\) — прямоугольный треугольник, \(\angle C=90^\circ\), \(\angle A=30^\circ\). Продолжим катет \(AC\) за точку \(C\) до точки \(D\), так что \(CD=AC\), и соединим \(D\) с \(B\). Треугольники \(ABC\) и \(DBC\) равны по двум катетам, поэтому \(BD=AB\). Угол \(ADB\) равен \(30^\circ\), значит, в равнобедренном треугольнике \(ABD\) углы при основании равны \(30^\circ\), а \(\angle ABD=120^\circ\). Следовательно, \(\angle CBD=60^\circ\), и из равенства углов и сторон получаем \(BC=\frac12 AB\). Значит, катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы.

а) Так как \(AB\) и \(CD\) — диаметры, вписанные углы \(ACB\) и \(CDB\), опирающиеся на диаметры, прямые. Следовательно, \(AC\perp BC\) и \(BD\perp DC\). Поскольку \(AB\parallel CD\), то из перпендикулярности к параллельным прямым следует \(AC\parallel BD\).

б) Из \(AB\parallel DC\) и \(AD\parallel BC\) следует, что \(ABCD\) — параллелограмм. Поэтому противоположные стороны равны: \(AB=DC\), \(AD=BC\), а противоположные углы равны: \(\angle ABC=\angle ADC\).

в) Пусть через \(E\) проведены \(EH\parallel BC\) и \(EK\parallel AB\). Тогда \(\triangle AHE\sim\triangle ACD\), а \(\triangle CEK\sim\triangle CBD\). Так как \(BD\) — биссектриса равнобедренного треугольника, треугольники, расположенные симметрично относительно \(BD\), равны; поэтому соответствующие отрезки на основании равны: \(AH=KC\).