Билет 10. 1. Серединный перпендикуляр. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. 2. Доказать свойство биссектрисы угла. 3. АВ и ВС отрезки касательных, проведённых к окружности с центром О радиуса 6см. Найти периметр четырёхугольника АВСО, если угол АВС равен 60°.

Решение:

1. Серединный перпендикуляр к отрезку.

Серединный перпендикуляр к отрезку – это прямая, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему.

Свойство серединного перпендикуляра: Точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку тогда и только тогда, когда она равноудалена от концов этого отрезка.

Доказательство:

1. Пусть дана прямая l, проходящая через середину отрезка AB в точке M и перпендикулярная AB. Возьмем произвольную точку C на прямой l.
2. Рассмотрим треугольники AMC и BMC.
• AM = MB (по условию, M – середина AB).
• ∠AMC = ∠BMC = 90° (по условию, l ⊥ AB).
• CM – общая сторона.
3. По двум сторонам и углу между ними (СУР), △AMC = △BMC.
4. Следовательно, AC = BC (как соответствующие стороны равных треугольников).
5. Таким образом, любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка.
6. Обратно, пусть точка C равноудалена от концов отрезка A и B (AC = BC).
7. Рассмотрим △ABC. Он равнобедренный, так как AC = BC.
8. Проведем медиану CM к основанию AB. В равнобедренном треугольнике медиана также является высотой и биссектрисой.
9. Следовательно, CM ⊥ AB.
10. Поскольку CM проходит через середину AB (по определению медианы) и перпендикулярна AB, то прямая CM является серединным перпендикуляром к отрезку AB.

2. Свойство биссектрисы угла.

Свойство биссектрисы угла: Точка лежит на биссектрисе угла тогда и только тогда, когда она равноудалена от сторон этого угла.

Доказательство:

1. Пусть луч l является биссектрисой ∠ABC. Возьмем произвольную точку D на луче l.
2. Проведем перпендикуляры DA и DC из точки D к сторонам AB и BC соответственно.
3. Рассмотрим прямоугольные треугольники △ABD и △CBD.
• ∠ABD = ∠CBD (по условию, l – биссектриса).
• BD – общая гипотенуза.
• ∠DAB = ∠DCB = 90° (по построению).
4. По гипотенузе и острому углу (Г-У), △ABD = △CBD.
5. Следовательно, DA = DC (как соответствующие катеты равных треугольников).
6. Таким образом, любая точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон.
7. Обратно, пусть точка D равноудалена от сторон угла ABC (DA = DC, где DA ⊥ AB, DC ⊥ BC).
8. Рассмотрим прямоугольные треугольники △ABD и △CBD.
• DA = DC (по условию).
• BD – общая гипотенуза.
9. По гипотенузе и катету (Г-К), △ABD = △CBD.
10. Следовательно, ∠ABD = ∠CBD (как соответствующие углы равных треугольников).
11. Таким образом, луч BD является биссектрисой ∠ABC.

3. Задача.

Дано:

• Окружность с центром O.
• AB и BC – отрезки касательных к окружности.
• Радиус окружности r = 6 см.
• ∠ABC = 60°.

Найти: Периметр четырёхугольника ABCO.

Решение:

1. По свойству касательных, проведенных из одной точки, AB = BC.
2. Также, радиусы, проведенные к точкам касания, перпендикулярны касательным: OA ⊥ AB и OC ⊥ BC.
3. Таким образом, ∠OAB = ∠OCB = 90°.
4. В четырёхугольнике ABCO сумма углов равна 360°.
5. ∠AOC = 360° - ∠OAB - ∠OCB - ∠ABC = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°.
6. Рассмотрим треугольник ABO. Он прямоугольный.
7. Поскольку ABCO является равнобедренной трапецией (или ромбом, если ∠ABC = 90°, но здесь 60°), диагонали BO и AC делят углы пополам.
8. Луч BO является биссектрисой ∠ABC, значит ∠ABO = ∠CBO = 60° / 2 = 30°.
9. В прямоугольном △ABO:
• OA = r = 6 см (катет, противолежащий углу 30°).
• AB (катет, прилежащий к углу 30°) найдем по формуле:
10. □ tan(30°) = OA / AB
11. □ AB = OA / tan(30°) = 6 / (1/√3) = 6√3 см.
12. Так как AB = BC, то BC = 6√3 см.
13. В прямоугольном △ABO, гипотенуза BO равна:
14. □ BO = OA / sin(30°) = 6 / (1/2) = 12 см.
15. Так как OA = OC = r = 6 см, то периметр четырёхугольника ABCO равен:
16. P = AB + BC + CO + OA = 6√3 + 6√3 + 6 + 6 = 12√3 + 12 см.

Ответ: Периметр четырёхугольника АВСО равен 12√3 + 12 см.