БИЛЕТ № 10. 1. Теорема о точках плоскости, лежащих по одну сторону от данной прямой и равноудаленных от этой прямой. 2. Определение внешнего угла треугольника. 3. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку. 4. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. 5. Угол при вершине равнобедренного треугольника тупой, а две его стороны равны 5 и 9 см. Найдите периметр треугольника.

Решение:

1. Теорема о точках плоскости, лежащих по одну сторону от данной прямой и равноудаленных от этой прямой:

Если точки A и B лежат по одну сторону от прямой L и равноудалены от нее, то любая точка, равноудаленная от A и B, лежит на прямой, параллельной L.

2. Определение внешнего угла треугольника:

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с внутренним углом треугольника. Он образуется стороной треугольника и продолжением смежной стороны.

3. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку:

Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. И наоборот, любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

4. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу:

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

5. Решение задачи:

Дано:

Равнобедренный треугольник.

Угол при вершине тупой.

Две стороны равны 5 см и 9 см.

Найти:

Периметр треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если угол при вершине тупой, то два других угла (углы при основании) должны быть острыми. Это возможно.

Стороны равнобедренного треугольника могут быть:

1. Две стороны по 9 см и одна сторона 5 см.
2. Две стороны по 5 см и одна сторона 9 см.

Рассмотрим второй случай. Если две стороны равны 5 см, то третья сторона (основание) может быть 9 см. В этом случае углы при основании равны. Сумма углов треугольника 180°. Если угол при вершине тупой (больше 90°), то сумма двух углов при основании будет меньше 90°. Это возможно.

Если две стороны равны 9 см, то третья сторона (основание) должна быть 5 см. В этом случае углы при основании равны. Сумма углов треугольника 180°. Если угол при вершине тупой (больше 90°), то сумма двух углов при основании будет меньше 90°. Это возможно.

В задаче сказано, что две его стороны равны 5 и 9 см. Это означает, что у нас нет двух одинаковых сторон. Значит, стороны треугольника — 5 см, 9 см и третья сторона, которая должна быть равна либо 5 см, либо 9 см.

Рассмотрим возможные варианты сторон:

• Вариант 1: Стороны 9 см, 9 см, 5 см. Угол при вершине, противолежащий основанию 5 см, может быть тупым.
• Вариант 2: Стороны 5 см, 5 см, 9 см. Угол при вершине, противолежащий основанию 9 см, должен быть тупым. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если угол при вершине тупой, то углы при основании острые. Этот вариант возможен.

По условию, две его стороны равны 5 и 9 см. Это означает, что эти две стороны не обязательно равны между собой. Одна из сторон — 5 см, другая — 9 см. Так как треугольник равнобедренный, то две стороны должны быть равны. Следовательно, третья сторона должна быть либо 5 см, либо 9 см.

Случай 1: Стороны равны 9 см, 9 см и 5 см. Периметр: \( P = 9 + 9 + 5 = 23 \) см.

Случай 2: Стороны равны 5 см, 5 см и 9 см. Периметр: \( P = 5 + 5 + 9 = 19 \) см.

Однако, если угол при вершине тупой, то стороны, прилежащие к этому углу, должны быть меньше основания. То есть, если основание 5 см, то стороны, прилежащие к тупому углу, должны быть равны 9 см. Этот случай соответствует условию (угол при вершине тупой, стороны 9 и 9 см, основание 5 см).

Если основание 9 см, то стороны, прилежащие к тупому углу, должны быть равны 5 см. В этом случае угол при вершине, противолежащий основанию 9 см, будет тупым. Но в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если угол при вершине тупой, то сумма углов при основании меньше 90°. Значит, каждый из углов при основании меньше 45°. Это возможно.

Условие «две его стороны равны 5 и 9 см» подразумевает, что именно эти две стороны известны. Так как треугольник равнобедренный, третья сторона равна одной из этих двух. Т.е. стороны могут быть (5, 5, 9) или (9, 9, 5).

Если стороны 5, 5, 9, то угол при вершине (противолежащий стороне 9) должен быть тупым. В равнобедренном треугольнике, если угол при вершине тупой, то боковые стороны меньше основания. Здесь 5 < 9. Это возможно.

Если стороны 9, 9, 5, то угол при вершине (противолежащий стороне 5) должен быть тупым. В равнобедренном треугольнике, если угол при вершине тупой, то боковые стороны меньше основания. Здесь 9 > 5. Этот случай противоречит условию, что угол при вершине тупой.

Следовательно, стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 9 см.

Периметр = 5 см + 5 см + 9 см = 19 см.

Ответ: Периметр треугольника равен 19 см.