Билет № 10 1) Дайте определение центрального и вписанного углов окружности. Сформулируйте свойство вписанного угла. 2) Запишите формулы площадей параллелограмма, ромба, трапеции. Запишите вывод одной из формул (по выбору). 3) Диагональ параллелограмма образует с его сторонами углы 35° и 42°. Найдите больший угол параллелограмма. 4) Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр 56. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1. Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности. Его стороны пересекают окружность. Величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается.
   Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
   Свойство вписанного угла: Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается (или половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу).
2. Формулы площадей:
   • Параллелограмм: S = a * h, где 'a' – сторона, 'h' – высота, проведенная к этой стороне.
   • Ромб: S = d1 * d2 / 2, где 'd1' и 'd2' – диагонали ромба. (Другой вариант: S = a * h, как и для параллелограмма).
   • Трапеция: S = (a + b) / 2 * h, где 'a' и 'b' – основания трапеции, 'h' – высота.
   Вывод формулы площади трапеции:

   Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AB и CD, и высотой h. Проведем диагональ AC. Диагональ делит трапецию на два треугольника: ABC и ADC.

   Площадь треугольника ABC: S_ABC = (1/2) * AB * h (где AB – основание, h – высота).

   Площадь треугольника ADC: S_ADC = (1/2) * CD * h (где CD – основание, h – высота).

   Площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников:

   S_ABCD = S_ABC + S_ADC = (1/2) * AB * h + (1/2) * CD * h

   Вынесем общий множитель (1/2) * h:

   S_ABCD = (1/2) * h * (AB + CD)

   Обозначив основания как 'a' (AB) и 'b' (CD), получаем формулу:

   S = (a + b) / 2 * h

3. Дано:
   [
   Параллелограмм ABCD. Диагональ AC образует с сторонами углы 35° и 42°.
   ]
   Найти: Больший угол параллелограмма.
   

   Решение:

   Пусть диагональ AC образует угол 35° со стороной AB (∠BAC = 35°) и угол 42° со стороной BC (∠BCA = 42°). В параллелограмме противоположные углы равны, и сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

   1. Найдем угол ABC (угол при вершине B):

   В треугольнике ABC: ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 35° - 42° = 180° - 77° = 103°.

   2. Так как ABCD — параллелограмм, то угол ABC = углу ADC = 103°.

   3. Найдем прилежащий к нему угол BAD:

   ∠BAD + ∠ABC = 180°

   ∠BAD + 103° = 180°

   ∠BAD = 180° - 103° = 77°.

   4. Следовательно, угол BAD = угол BCD = 77°.

   Углы параллелограмма: 103°, 77°, 103°, 77°.

   Больший угол равен 103°.

   Ответ: Больший угол параллелограмма равен 103°.

4. Дано:
   [
   Равнобедренная трапеция ABCD. Основания BC = 8, AD = 18. Периметр P = 56.
   ]
   Найти: Площадь трапеции S.
   

   Решение:

   1. Найдем боковую сторону (l). Периметр P = BC + AD + 2l.

   56 = 8 + 18 + 2l

   56 = 26 + 2l

   2l = 56 - 26

   2l = 30

   l = 15.

   2. Найдем высоту трапеции (h). Проведем высоты BK и CM из вершин B и C к основанию AD. Тогда KMCB — прямоугольник, значит KM = BC = 8.

   Так как трапеция равнобедренная, отрезки AK и MD равны:

   AK = MD = (AD - KM) / 2 = (18 - 8) / 2 = 10 / 2 = 5.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. По теореме Пифагора:

   AB² = AK² + BK²

   l² = AK² + h²

   15² = 5² + h²

   225 = 25 + h²

   h² = 225 - 25

   h² = 200

   h = \(\sqrt{200}\) = \(\sqrt{100 * 2}\) = 10\(\sqrt{2}\).

   3. Найдем площадь трапеции:

   S = (a + b) / 2 * h = (8 + 18) / 2 * 10\(\sqrt{2}\) = 26 / 2 * 10\(\sqrt{2}\) = 13 * 10\(\sqrt{2}\) = 130\(\sqrt{2}\).

   Ответ: Площадь трапеции равна 130\(\sqrt{2}\).