Билет №10 1. Определение подобных треугольников. Признаки подобия. Третий признак подобия треугольников (доказательство) 2. В треугольнике ABC угол А меньше угла В в три раза, а внешний угол при вершине А больше внешнего угла при вершине В на 40°. Найти внутренние углы треугольника АВС.

Решение:

1. Третий признак подобия треугольников: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
2. Пусть \( \angle A = x \). По условию, \( \angle A = \frac{1}{3} \angle B \), значит \( \angle B = 3x \).
3. Внешний угол при вершине A равен \( 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - x \).
4. Внешний угол при вершине B равен \( 180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} - 3x \).
5. По условию, внешний угол при вершине A больше внешнего угла при вершине B на 40°: \( (180^{\circ} - x) - (180^{\circ} - 3x) = 40^{\circ} \).
6. Решаем уравнение: \( 180^{\circ} - x - 180^{\circ} + 3x = 40^{\circ} \)
7. \( 2x = 40^{\circ} \)
8. \( x = 20^{\circ} \).
9. Таким образом, \( \angle A = 20^{\circ} \) и \( \angle B = 3 \cdot 20^{\circ} = 60^{\circ} \).
10. Находим \( \angle C \) в треугольнике ABC: \( \angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).

Ответ: \( \angle A = 20^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}, \angle C = 100^{\circ} \).