Билет № 10 1)Определение центральногои углов окружности. Свойства вписанного угла. 2) Формулы площадей параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата, трапеции. 3) Диагональ параллелограмма образует с его сторонами углы 35° и 42°. Найдите больший угол параллелограмма. 4) Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр 56. Найдите площадь трапеции.

Билет № 10

1. Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности. Его величина равна величине дуги, на которую он опирается.
2. Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.
3. Свойства вписанного угла:
• Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
• Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым (равен 90°).
4. Формулы площадей:
• Параллелограмм: $$S = ah$$, где $$a$$ — сторона, $$h$$ — высота, проведенная к этой стороне. $$S = ab \\text{sin}(\\text{альфа})$$
• Прямоугольник: $$S = ab$$, где $$a$$ и $$b$$ — смежные стороны.
• Ромб: $$S = ah$$, где $$a$$ — сторона, $$h$$ — высота. $$S = \frac{1}{2}d_1 d_2$$, где $$d_1$$ и $$d_2$$ — диагонали.
• Квадрат: $$S = a^2$$, где $$a$$ — сторона.
• Трапеция: $$S = \frac{a+b}{2} h$$, где $$a$$ и $$b$$ — основания, $$h$$ — высота.

5. Дано:

   • Параллелограмм ABCD.
   • Диагональ AC образует с его сторонами углы:
   • \[ \angle CAB = 35^{\circ} \text{ (с AB)} \\ \angle CAD = 42^{\circ} \text{ (с AD)} \

   Найти:

   • Больший угол параллелограмма.

   Решение:

   Углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°.

   Угол \(\angle DAB = \angle CAB + \angle CAD = 35^{\circ} + 42^{\circ} = 77^{\circ}

   Так как $$AD ∥ BC$$ и $$AB ∥ DC$$, то

   \[ \angle BCD = \angle DAB = 77^{\circ} \text{ (как накрест лежащие при пересечении параллельных AD и BC секущей AC, но это неверно, нужно использовать свойства параллелограмма)}\]

   Правильное рассуждение:

   Углы \(\angle DAB \text{ и } \angle ABC \text{ \(или } \angle ADC\) \(\text{ прилежат к одной стороне и в сумме дают }\) 180^{\(\circ\)}

   \[ \angle ADC = 180^{\circ} - \angle DAB = 180^{\circ} - 77^{\circ} = 103^{\circ} \]

   Углы параллелограмма равны противоположным углам:

   \[ \angle B = \angle D = 103^{\circ} \text{ и } \angle C = \angle A = 77^{\circ} \]

   Больший угол параллелограмма — это 103°.

   Ответ: 103°.

6. Дано:

   • Равнобедренная трапеция ABCD.
   • Основания: $$a = 8$$, $$b = 18$$.
   • Периметр $$P = 56$$.

   Найти:

   • Площадь трапеции $$S$$.

   Решение:

   1. Находим боковую сторону:

   Периметр $$P = a + b + 2c$$, где $$c$$ — боковая сторона.

   \[ 56 = 8 + 18 + 2c \]

   \[ 56 = 26 + 2c \]

   \[ 2c = 56 - 26 \]

   \[ 2c = 30 \]

   \[ c = 15 \]

   Боковая сторона трапеции равна 15.

   2. Находим высоту трапеции:

   В равнобедренной трапеции, опустив высоты из концов меньшего основания на большее, мы получим два прямоугольных треугольника.

   Найдем отрезок, который будет катетом этих треугольников:

   \[ x = \frac{b - a}{2} = \frac{18 - 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

   Теперь в прямоугольном треугольнике (с гипотенузой $$c=15$$ и катетом $$x=5$$) найдем второй катет — высоту $$h$$ по теореме Пифагора:

   \[ h^2 + x^2 = c^2 \]

   \[ h^2 + 5^2 = 15^2 \]

   \[ h^2 + 25 = 225 \]

   \[ h^2 = 225 - 25 \]

   \[ h^2 = 200 \]

   \[ h = \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2} \]

   Высота трапеции равна $$10\sqrt{2}$$.

   3. Находим площадь трапеции:

   \[ S = \frac{a+b}{2} h \]

   \[ S = \frac{8 + 18}{2} \times 10\sqrt{2} \]

   \[ S = \frac{26}{2} \times 10\sqrt{2} \]

   \[ S = 13 \times 10\sqrt{2} \]

   \[ S = 130\sqrt{2} \]

   Ответ: Площадь трапеции равна $$130\sqrt{2}$$.