Билет 10 2. Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную прямыми х=2 и х=3, и найти её площадь f(x) = x^3 + 2

Решение:

Криволинейная трапеция ограничена сверху графиком функции \( f(x) = x^3 + 2 \), снизу — осью абсцисс (ось Ox), а по бокам — вертикальными прямыми \( x = 2 \) и \( x = 3 \).

Площадь такой трапеции находится как определённый интеграл от функции \( f(x) \) в пределах от \( a \) до \( b \):

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) dx \]

В нашем случае \( a = 2 \) и \( b = 3 \), а \( f(x) = x^3 + 2 \).

\[ S = \int_{2}^{3} (x^3 + 2) dx \]

Находим первообразную для \( x^3 + 2 \):

\[ \int (x^3 + 2) dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + 2x = \frac{x^4}{4} + 2x \]

Теперь вычисляем определённый интеграл:

\[ S = \left[ \frac{x^4}{4} + 2x \right]_{2}^{3} \]

Подставляем верхний и нижний пределы:

\[ S = \left( \frac{3^4}{4} + 2 \cdot 3 \right) - \left( \frac{2^4}{4} + 2 \cdot 2 \right) \]\[ S = \left( \frac{81}{4} + 6 \right) - \left( \frac{16}{4} + 4 \right) \]\[ S = \left( \frac{81}{4} + \frac{24}{4} \right) - \left( 4 + 4 \right) \]\[ S = \frac{105}{4} - 8 \]\[ S = \frac{105}{4} - \frac{32}{4} \]\[ S = \frac{73}{4} \]

Преобразуем в десятичную дробь:

\[ S = 18.25 \]

Ответ: Площадь криволинейной трапеции равна \( \frac{73}{4} \) или \( 18.25 \).