Билет № 11. 1. Медиана. 2. Параллельные прямые (определение). Признаки параллельности двух прямых. 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см отмечены три точки: А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. 4. На сторонах угла ВАС и на его биссектрисе отложены равные отрезки АВ, АС и АД. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла ВАС.

Решение:

1. Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

2. Параллельные прямые

Определение: Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признаки параллельности прямых:

• Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3. Расстояние от точки до прямой

Для нахождения расстояния от точки А до прямой ВС на клетчатой бумаге, нужно:

1. Найти координаты точек А, В и С, приняв одну из вершин сетки за начало координат.
2. Найти уравнение прямой ВС.
3. Использовать формулу расстояния от точки до прямой.

Без конкретных координат точек А, В, С дать числовой ответ невозможно.

4. Угол ВАС

Дано:

• Угол BAC
• AB = AC = AD
• Биссектриса угла BAC
• Угол BDC = 160°

Решение:

1. Так как AB = AC, то треугольник ABC — равнобедренный. Биссектриса угла BAC также является медианой и высотой.
2. Пусть угол BAC = 2α. Тогда углы ABC и ACB равны 90° - α.
3. Рассмотрим треугольник ABD. AB = AD, значит, он равнобедренный. Угол ABD = 90° - α. Угол ADB = угол ABD = 90° - α.
4. Угол BAD = 180° - 2 * (90° - α) = 2α.
5. Угол BDC = 160°.
6. Угол ADC = Угол BDC - Угол BDA = 160° - (90° - α) = 70° + α.
7. Рассмотрим треугольник ADC. AC = AD, значит, он равнобедренный. Угол ACD = Угол ADC = 70° + α.
8. Сумма углов в треугольнике ABC: Угол BAC + Угол ABC + Угол ACB = 180°.
9. 2α + (90° - α) + (90° - α) = 180° (это верно для равнобедренного треугольника ABC, но не учитывает точку D).
10. У нас есть треугольник BDC. Угол DBC = 90° - α. Угол DCB = 90° - α + (70° + α) = 160°? Это неверно.
11. Пересмотрим. Так как AB=AC, то треугольник ABC равнобедренный. Биссектриса угла BAC делит его пополам. Пусть угол BAC = 2a. Угол ABC = Угол ACB = (180 - 2a)/2 = 90-a.
12. Так как AB = AD, треугольник ABD равнобедренный. Угол ABD = Угол ADB = (180 - угол BAD)/2.
13. Так как AC = AD, треугольник ACD равнобедренный. Угол ACD = Угол ADC = (180 - угол CAD)/2.
14. Угол BAC = 2a. Угол CAD = Угол BAC = 2a.
15. Угол ADB = (180 - 2a)/2 = 90-a.
16. Угол ADC = (180 - 2a)/2 = 90-a.
17. Угол BDC = Угол ADB + Угол ADC = (90-a) + (90-a) = 180 - 2a.
18. Дано: Угол BDC = 160°.
19. 180 - 2a = 160°
20. 2a = 180° - 160°
21. 2a = 20°
22. a = 10°
23. Угол BAC = 2a = 20°.

Ответ: 20°