Билет № 1 1) Дайте определение многоугольника, вершины, стороны, диагонали и периметра многоугольника. Запишите формулу суммы углов выпуклого многоугольника. 2) Сформулируйте теоремы о средних линиях треугольника и трапеции. Докажите одну из них по выбору. 3) Радиус ОВ окружности с центром в точке О пересекает хорду АС в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды АС, если BD=1см, а радиус окружности равен 5см. 4) Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 20. Найдите площадь этого прямоугольника.

Билет № 1

1) Определения и формулы:

• Многоугольник – это замкнутая ломаная линия, состоящая из отрезков (сторон), соединенных в вершинах.


• Вершина – точка, где сходятся две стороны многоугольника.


• Сторона – отрезок, соединяющий две соседние вершины.


• Диагональ – отрезок, соединяющий две не соседние вершины.


• Периметр – сумма длин всех сторон многоугольника.


• Формула суммы углов выпуклого многоугольника: \( S = (n-2) × 180^\circ \), где \( n \) – число сторон (и углов) многоугольника.

2) Теоремы о средних линиях:

• Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна половине этого основания.


• Теорема о средней линии трапеции: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме длин оснований.

3) Задача на окружность:

Дано: Радиус окружности \( R = 5 \) см, \( OB \) – радиус, \( AC \) – хорда, \( OD ⊥ AC \), \( BD = 1 \) см.

Найти: Длину хорды \( AC \).

Решение:

1. Так как \( OB \) – радиус, то \( OB = 5 \) см.


2. \( OD = OB - BD = 5 \) см - \( 1 \) см = \( 4 \) см.


3. В прямоугольном треугольнике \( Δ AOD \) (так как \( OD ⊥ AC \)), по теореме Пифагора: \( AO^2 = AD^2 + OD^2 \).


4. \( AO \) – радиус, поэтому \( AO = 5 \) см.


5. \( 5^2 = AD^2 + 4^2 \)


6. \( 25 = AD^2 + 16 \)


7. \( AD^2 = 25 - 16 = 9 \)


8. \( AD = √9 = 3 \) см.


9. Так как \( OD \) – высота и медиана в равнобедренном треугольнике \( Δ AOC \) (так как \( OD \) перпендикулярен хорде \( AC \) и проходит через центр окружности, то \( OD \) делит хорду пополам), то \( AC = 2 × AD \).


10. \( AC = 2 × 3 = 6 \) см.

Ответ: Длина хорды \( AC \) равна 6 см.

4) Задача на прямоугольник:

Дано: Периметр прямоугольника \( P = 56 \) см, диагональ \( d = 20 \) см.

Найти: Площадь прямоугольника \( S \).

Решение:

1. Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \).


2. Периметр: \( P = 2(a+b) \).


3. \( 56 = 2(a+b) → a+b = 28 \).


4. Диагональ: \( d^2 = a^2 + b^2 \) (по теореме Пифагора).


5. \( 20^2 = a^2 + b^2 → 400 = a^2 + b^2 \).


6. Рассмотрим \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).


7. \( 28^2 = (a^2+b^2) + 2ab \).


8. \( 784 = 400 + 2ab \).


9. \( 2ab = 784 - 400 = 384 \).


10. \( ab = 384 / 2 = 192 \).


11. Площадь прямоугольника \( S = ab \).

Ответ: Площадь прямоугольника равна 192 см².