Билет № 11 1. Приведите формулы площади треугольника. Формула Герона. 2. Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? Сформулируйте свойство и признак касательной. 3. Задача. Средние линии треугольника относятся как 2:2:4, а периметр треугольника равен 45 см. Найдите стороны треугольника.

Билет № 11

1. Площадь треугольника можно вычислить по нескольким формулам:
   • Через основание и высоту: S = \(\frac{1}{2}\) \(\times\) a \(\times\) h, где a — сторона треугольника, h — высота, опущенная на эту сторону.
   • Через две стороны и угол между ними: S = \(\frac{1}{2}\) \(\times\) a \(\times\) b \(\times\) \(\sin\)\(\gamma\), где a и b — две стороны треугольника, \(\gamma\) — угол между ними.
   • Формула Герона (для нахождения площади через три стороны): S = \(\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где a, b, c — стороны треугольника, а p — полупериметр \(p = \frac{a+b+c}{2}\).
2. Прямая и окружность могут иметь:
   • Две общие точки: прямая является секущей.
   • Одну общую точку: прямая является касательной.
   • Ни одной общей точки: прямая не пересекает окружность.
   Свойство касательной: Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
   Признак касательной: Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к окружности.
3. Дано:
   Средние линии треугольника относятся как 2:2:4.
   Периметр треугольника P = 45 см.
   
   Найти:
   Стороны треугольника a, b, c.
   
   Решение:
   Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Пусть средние линии равны 2x, 2x и 4x. Тогда стороны треугольника равны 4x, 4x и 8x.
   Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:
   P = 4x + 4x + 8x = 16x.
   По условию P = 45 см, значит:
   16x = 45
x = \(\frac{45}{16}\)
   
   Теперь найдем стороны треугольника:
   a = 4x = 4 \(\times\) \(\frac{45}{16}\) = \(\frac{45}{4}\) = 11.25 см.
   b = 4x = 4 \(\times\) \(\frac{45}{16}\) = \(\frac{45}{4}\) = 11.25 см.
   c = 8x = 8 \(\times\) \(\frac{45}{16}\) = \(\frac{45}{2}\) = 22.5 см.
   
   Проверка:
   11.25 + 11.25 + 22.5 = 45 см.

Ответ: Стороны треугольника равны 11.25 см, 11.25 см и 22.5 см.