Билет № 11 1) Расскажите о взаимном расположении двух окружностей, о касании окружностей. Общие касательные к двум окружностям. 2) Запишите формулу площади треугольника, следствия из нее, формулу Герона. Запишите вывод формулы площади треугольника. 3) К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО. Найдите радиус окружности, если АВ=12 см, АО=13 см. 4) На сторонах угла ВАС и на его биссектрисе отложены равные отрезки АВ, АС и AD. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла ВАС. Билет № 12

Решение задачи №3:

По теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины секущей на длину ее внешней части. В данном случае:

Дано:

• Окружность с центром в точке О.
• Касательная АВ, АВ = 12 см.
• Секущая АО, АО = 13 см.

Найти:

• Радиус окружности (r).

Решение:

По теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины секущей на длину ее внешней части. В данном случае:

AB² = AO ⋅ AC (где C - точка пересечения секущей с окружностью, ближайшая к точке А).

Однако, в задаче дана секущая АО, где А - точка вне окружности, а О - центр окружности. Это означает, что секущая проходит через центр окружности. В таком случае, АО является отрезком, содержащим радиус. Точка касания В находится на окружности, и отрезок АВ является касательной.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВО, где ОВ - радиус окружности (перпендикулярный касательной АВ в точке касания В).

По теореме Пифагора:

AO² = AB² + OB²

Подставим известные значения:

\[ 13^2 = 12^2 + r^2 \]

\[ 169 = 144 + r^2 \]

\[ r^2 = 169 - 144 \]

\[ r^2 = 25 \]

\[ r = \sqrt{25} \]

\[ r = 5 \]

Ответ: Радиус окружности равен 5 см.

Решение задачи №4:

Дано:

• Угол ВАС.
• Биссектриса AD.
• AB = AC = AD.
• Угол BDC = 160°.

Найти:

• Угол ВАС.

Решение:

Так как AD является биссектрисой угла ВАС, то угол BAD = угол CAD.

Рассмотрим треугольник ABD. Так как AB = AD, то треугольник ABD равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны: угол ABD = угол ADB.

Рассмотрим треугольник ACD. Так как AC = AD, то треугольник ACD равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны: угол ACD = угол ADC.

Угол BDC является внешним углом для треугольника ABD. Поэтому:

Угол BDC = Угол BAD + Угол ABD

Мы знаем, что Угол ABD = Угол ADB.

Пусть Угол BAD = Угол CAD = x. Тогда Угол BAC = 2x.

Пусть Угол ABD = Угол ADB = y. Тогда Угол BAC = 2x.

Так как AD — биссектриса, то Угол BAD = Угол CAD = x.

Рассмотрим треугольник ABD:

Угол ABD = Угол ADB (так как AB = AD).

Угол BDC = Угол BAD + Угол ABD (внешний угол треугольника ABD).

160° = x + Угол ABD

Угол ABD = 160° - x.

Следовательно, Угол ADB = 160° - x.

Теперь рассмотрим треугольник ACD:

Угол ACD = Угол ADC (так как AC = AD).

Угол ADC = Угол CAD + Угол ACD (внешний угол треугольника ACD).

Но мы знаем, что Угол BDC = Угол ADB + Угол ADC = 160°.

Заменим Угол ADB на (160° - x).

160° = (160° - x) + Угол ADC

Угол ADC = 160° - (160° - x) = x.

Так как Угол ACD = Угол ADC, то Угол ACD = x.

Теперь вернемся к треугольнику ACD. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Угол CAD + Угол ACD + Угол ADC = 180°

x + x + x = 180°

3x = 180°

x = 180° / 3

x = 60°

Угол ВАС = 2x = 2 * 60° = 120°.

Проверка:

Если Угол BAC = 120°, то Угол BAD = Угол CAD = 60°.

В равнобедренном треугольнике ABD (AB=AD), Угол ABD = Угол ADB = (180° - 60°)/2 = 120°/2 = 60°.

В равнобедренном треугольнике ACD (AC=AD), Угол ACD = Угол ADC = (180° - 60°)/2 = 120°/2 = 60°.

Угол BDC = Угол ADB + Угол ADC = 60° + 60° = 120°.

Ошибка в решении. Пересмотрим.

Дано:

• Угол ВАС.
• Биссектриса AD.
• AB = AC = AD.
• Угол BDC = 160°.

Найти:

• Угол ВАС.

Решение:

Пусть угол ВАС = 2α . Так как AD — биссектриса, то угол CAD = угол BAD = α .

Рассмотрим треугольник ABD. Так как AB = AD, он равнобедренный. Следовательно, угол ABD = угол ADB .

Сумма углов в треугольнике ABD: угол BAD + угол ABD + угол ADB = 180°.

α + 2 * (угол ADB) = 180°

2 * (угол ADB) = 180° - α

угол ADB = (180° - α) / 2 = 90° - α/2 .

Рассмотрим треугольник ACD. Так как AC = AD, он равнобедренный. Следовательно, угол ACD = угол ADC .

Сумма углов в треугольнике ACD: угол CAD + угол ACD + угол ADC = 180°.

α + 2 * (угол ADC) = 180°

2 * (угол ADC) = 180° - α

угол ADC = (180° - α) / 2 = 90° - α/2 .

Угол BDC — это сумма углов ADB и ADC.

Угол BDC = угол ADB + угол ADC

160° = (90° - α/2) + (90° - α/2)

160° = 180° - α

α = 180° - 160°

α = 20°.

Угол ВАС = 2α = 2 * 20° = 40°.

Ответ: Величина угла ВАС равна 40°.