Билет № 12 1. Сформулируйте определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Значения синуса, косинуса, тангенса для угла 45°. 2. Сформулируйте определение параллелограмма. Сформулируйте свойства углов, сторон и диагоналей параллелограмма. 3. Задача. Сходственные стороны двух подобных треугольников соответственно равны 10см и 24см, а сумма их периметров равна 119см. Найти периметр каждого треугольника.

Билет № 12

1. Определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника: Тангенс острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
   
   Значения для угла 45°:
   Для прямоугольного треугольника с углом 45° (и, следовательно, вторым острым углом тоже 45°), он является равнобедренным. Пусть катеты равны a. Тогда гипотенуза c по теореме Пифагора равна c = \(\sqrt{a^2 + a^2}\) = \(\sqrt{2a^2}\) = a\(\sqrt{2}\).
   
   • Синус 45°: \(\sin\)(45°) = \(\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\) = \(\frac{a}{a\sqrt{2}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
   • Косинус 45°: \(\cos\)(45°) = \(\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\) = \(\frac{a}{a\sqrt{2}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
   • Тангенс 45°: \(\tan\)(45°) = \(\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}\) = \(\frac{a}{a}\) = 1
2. Определение параллелограмма: Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
   
   Свойства параллелограмма:
   • Углы:
     • Противоположные углы равны \(\angle A = \angle C, \angle B = \angle D\).
     • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° \(\angle A + \angle B = 180°\).
   • Стороны:
     • Противоположные стороны равны (AB = CD, BC = DA).
   • Диагонали:
     • Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (AO = OC, BO = OD, где O — точка пересечения диагоналей).
     • Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон: d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2).
3. Дано:
   Два подобных треугольника.
   Сходственные стороны: a_1 = 10 см, a_2 = 24 см.
   Сумма периметров: P_1 + P_2 = 119 см.
   
   Найти:
   Периметр каждого треугольника: P_1 и P_2.
   
   Решение:
   Отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Пусть k — коэффициент подобия.
   k = \(\frac{a_2}{a_1}\) = \(\frac{24}{10}\) = 2.4.
   Следовательно, P_2 = k \(\times\) P_1 = 2.4 \(\times\) P_1.
   По условию P_1 + P_2 = 119 см. Подставим выражение для P_2:
   P_1 + 2.4 \(\times\) P_1 = 119
3.4 \(\times\) P_1 = 119
P_1 = \(\frac{119}{3.4}\) = \(\frac{1190}{34}\) = 35 см.
   
   Теперь найдем P_2:
   P_2 = 119 - P_1 = 119 - 35 = 84 см.
   
   Проверка:
   Отношение периметров: \(\frac{P_2}{P_1}\) = \(\frac{84}{35}\) = \(\frac{12}{5}\) = 2.4. Это совпадает с отношением сторон.

Ответ: Периметр первого треугольника равен 35 см, а периметр второго треугольника равен 84 см.