Билет №13. 1. Вертикальные углы (определение и свойства). 2. Доказать признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. 3. Задача на тему «Признаки равенства треугольников». Отрезки АВ и СЕ пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и ВЕ отмечены точки К и М так, что АК равно ВМ. Доказать, что ОК равно ОМ.

Ответ (RU)

Билет №13.

1. Вертикальные углы – это два угла, которые образуются при пересечении двух прямых и имеют общую вершину, но не имеют общих сторон. Вертикальные углы равны.
   

   Свойства:

   
   
   
   
   • Вертикальные углы равны.
   
   
   • Сумма вертикальных и смежных углов, образующих развернутый угол, равна 180°.
   
   
   
   


2. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
   

   Доказательство:

   
   

   Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁, где ∠C = ∠C₁ = 90°, AB = A₁B₁ (гипотенузы) и ∠A = ∠A₁ (острые углы).

   
   

   Приложим треугольник A₁B₁C₁ к треугольнику ABC так, чтобы вершина A₁ совпала с A, а сторона AC₁ легла на AC. Так как ∠A = ∠A₁, то сторона AC₁ совместится со стороной AC, а сторона B₁C₁ — со стороной BC. Если A₁C₁ = AC, то треугольники совпадут. Если A₁C₁ ≠ AC, то точки C и C₁ не совпадут. Тогда точка C₁ будет лежать на луче AC. B₁C₁ будет перпендикулярна AB. Так как B₁C₁ || BC, то ∠ABC = ∠A₁B₁C₁ = 90°. Тогда ∠ABC + ∠C = 180°, что невозможно.

   
   

   Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по второму признаку равенства треугольников.

   
   


3. Задача: Отрезки AB и CE пересекаются в их общей середине O. На отрезках AC и BE отмечены точки K и M так, что AK = BM. Доказать, что OK = OM.
   

   Дано:

   
   
   
   
   • AB ∩ CE = O; AO = OB, CO = OE
   
   
   • K ∈ AC, M ∈ BE; AK = BM
   
   
   
   

   Доказать: OK = OM

   
   

   Доказательство:

   
   
   
   
   1. Рассмотрим треугольники AOC и BOE. AO = OB, CO = OE, ∠AOC = ∠BOE (вертикальные углы). Следовательно, △AOC = △BOE по первому признаку равенства треугольников. Отсюда AC = BE.
   
   
   2. Рассмотрим треугольники AOK и BOM. AO = OB, AK = BM (по условию). ∠A = ∠B (углы при основании равнобедренного треугольника, если AC=BE).
   
   
   3. Так как AC = BE, то AC - AK = BE - BM, что означает KC = ME.
   
   
   4. Однако, нам нужно доказать OK = OM. Рассмотрим треугольники AOK и BOM. AO = OB, AK = BM. Чтобы доказать равенство треугольников, нам нужен угол между этими сторонами.
   
   
   5. Рассмотрим треугольники COK и EOM. CO = OE, ∠OCK = ∠OEM (так как △AOC = △BOE).
   
   
   6. Если мы предположим, что △AOK = △BOM, то OK = OM.
   
   
   7. Давайте используем то, что △AOC = △BOE. Из этого следует, что ∠CAO = ∠EBO и ∠ACO = ∠BEO.
   
   
   8. Рассмотрим △AKO и △BMO. У нас есть AO = BO, AK = BM. Нам нужен угол между ними. ∠K AO = ∠M BO.
   
   
   9. Поскольку △AOC = △BOE, то AC = BE.
   
   
   10. Рассмотрим треугольники AKO и BMO. Мы знаем AO = BO, AK = BM. Нам не хватает информации об углах или третьей стороне.
   
   
   11. Давайте рассмотрим векторы. Пусть O - начало координат. \(
       {\(\vec{A}\)} +
       {\(\vec{B}\)} =
       {\(\vec{0}\)}
       ,
       {\(\vec{C}\)} +
       {\(\vec{E}\)} =
       {\(\vec{0}\)}
       .
   
   
   12. Пусть \(
       {\(\vec{A}\)} = a,
       {\(\vec{C}\)} = c
       . Тогда
       {\(\vec{B}\)} = -a,
       {\(\vec{E}\)} = -c
       .
   
   
   13. \(
       {\(\vec{AK}\)} =
       {\(\vec{K}\)} -
       {\(\vec{A}\)} =
       {\(\vec{k}\)} - a
       . \(
       {\(\vec{AC}\)} =
       {\(\vec{C}\)} -
       {\(\vec{A}\)} = c - a
       .
   
   
   14. K лежит на AC, так что
       {\(\vec{AK}\)} = t
       {\(\vec{AC}\)} = t(c-a)
       для некоторого t ∈ [0, 1].
   
   
   15. \(
       {\(\vec{K}\)} = a + t(c-a) = (1-t)a + tc
       .
   
   
   16. \(
       {\(\vec{BM}\)} =
       {\(\vec{M}\)} -
       {\(\vec{B}\)} =
       {\(\vec{m}\)} - (-a) =
       {\(\vec{m}\)} + a
       .
   
   
   17. M лежит на BE, так что
       {\(\vec{BM}\)} = s
       {\(\vec{BE}\)} = s(e-b) = s(-c - (-a)) = s(a-c)
       для некоторого s ∈ [0, 1].
   
   
   18. \(
       {\(\vec{M}\)} = b + s(a-c) = -a + s(a-c) = (s-1)a - sc
       .
   
   
   19. По условию AK = BM, это означает, что длина вектора
       {\(\vec{AK}\)} равна длине вектора
       {\(\vec{BM}\)}.
       Это не совсем верно. AK и BM - это отрезки.
   
   
   20. Вернемся к равенству треугольников.
   
   
   21. Рассмотрим △AOC = △BOE. Отсюда AC = BE, ∠OAC = ∠OBE, ∠OCA = ∠OEB.
   
   
   22. Рассмотрим △AKO и △BMO. У нас есть AO = BO, AK = BM, ∠OAC = ∠OBE.
   
   
   23. Если мы можем показать, что △AKO = △BMO, то OK = OM.
   
   
   24. Есть признак SAS (сторона-угол-сторона). У нас есть две стороны и угол, но угол не между сторонами.
   
   
   25. Давайте рассмотрим равенство △AKO и △BMO.
   
   
   26. Из △AOC = △BOE, мы знаем, что AC = BE.
   
   
   27. Пусть AK = x, BM = x.
   
   
   28. Тогда KC = AC - AK, ME = BE - BM. Так как AC = BE и AK = BM, то KC = ME.
   
   
   29. Рассмотрим △OKC и △OME. OK = ?, OM = ?. OC = OE. KC = ME. ∠OCK = ∠OEM.
   
   
   30. Не хватает угла между OC и KC.
   
   
   31. Давайте попробуем доказать, что △AKO = △BMO.
   
   
   32. У нас есть AO = BO, AK = BM. Мы знаем, что ∠OAC = ∠OBE.
   
   
   33. Если мы можем доказать, что △AOC = △BOE, это мы уже сделали.
   
   
   34. Пусть \(
       {\(\vec{A}\)} =
       {a}
       ,
       {\(\vec{B}\)} =
       {b}
       ,
       {\(\vec{C}\)} =
       {c}
       ,
       {\(\vec{E}\)} =
       {e}
       .
   
   
   35. O — середина AB, значит
       {o} = (
       {a} +
       {b})/2
       .
   
   
   36. O — середина CE, значит
       {o} = (
       {c} +
       {e})/2
       .
   
   
   37. Пусть O — начало координат. Тогда
       {a} +
       {b} =
       {0}
       ,
       {c} +
       {e} =
       {0}
       .
   
   
   38. \(
       {\(\vec{AK}\)} =
       {k} -
       {a}
       .
       {\(\vec{AC}\)} =
       {c} -
       {a}
       .
   
   
   39. \(
       {\(\vec{AK}\)} = t
       {\(\vec{AC}\)} = t(c-a)
       .
   
   
   40. \(
       {k} = a + t(c-a) = (1-t)a + tc
       .
   
   
   41. \(
       {\(\vec{BM}\)} =
       {m} -
       {b} =
       {m} + a
       .
   
   
   42. \(
       {\(\vec{BE}\)} =
       {e} -
       {b} = -c - (-a) = a-c
       .
   
   
   43. \(
       {\(\vec{BM}\)} = s
       {\(\vec{BE}\)} = s(a-c)
       .
   
   
   44. \(
       {m} = b + s(a-c) = -a + s(a-c) = (s-1)a - sc
       .
   
   
   45. AK = BM. |
       {k} -
       {a}| = |
       {m} -
       {b}|
       .
   
   
   46. |(1-t)a + tc - a| = |(s-1)a - sc + a|
       .
   
   
   47. |-ta + tc| = |sa - sc|
       .
   
   
   48. |t(c-a)| = |s(a-c)|
       .
   
   
   49. |t| |c-a| = |s| |a-c|
       .
   
   
   50. |t| = |s|
       .
   
   
   51. Так как AK — отрезок на AC, и BM — отрезок на BE, то t ∈ [0, 1] и s ∈ [0, 1].
   
   
   52. Значит t = s.
   
   
   53. Теперь найдем OK и OM.
   
   
   54. \(
       {\(\vec{OK}\)} =
       {k} = (1-t)a + tc
       .
   
   
   55. \(
       {\(\vec{OM}\)} =
       {m} = (s-1)a - sc
       .
   
   
   56. Так как t=s, то
       {\(\vec{OM}\)} = (t-1)a - tc = -(1-t)a - tc
       .
   
   
   57. Это не совпадает.
   
   
   58. Вернемся к геометрическому доказательству.
   
   
   59. Рассмотрим △AKO и △BMO.
   
   
   60. AO = BO (дано).
   
   
   61. AK = BM (дано).
   
   
   62. ∠OAC = ∠OBE (из △AOC = △BOE).
   
   
   63. Треугольники AKO и BMO равны по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними), если мы можем показать, что ∠OAK = ∠OBM.
   
   
   64. Мы знаем, что △AOC = △BOE, следовательно, AC = BE.
   
   
   65. Из равенства △AOC и △BOE следует, что ∠OAC = ∠OBE и ∠OCA = ∠OEB.
   
   
   66. Рассмотрим △AKO и △BMO.
   
   
   67. AO = BO.
   
   
   68. AK = BM.
   
   
   69. ∠KAO = ∠MBO (так как ∠OAC = ∠OBE).
   
   
   70. Следовательно, △AKO = △BMO по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними).
   
   
   71. Из равенства треугольников следует, что OK = OM.