Билет № 13 1. Квадрат: определение, признаки. 2. Вписанная окружность. Теорема об окружности, вписанной в треугольник. 3. Задача. Найти отрезки на которые биссектриса AD треугольника АВС делит сторону ВС, если АВ= 6см, ВС= 7см, АС= 8см.

1. Квадрат: определение и признаки

Определение: Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Признаки квадрата:

• Прямоугольник, у которого диагонали перпендикулярны.


• Ромб, у которого диагонали равны.


• Прямоугольник, у которого есть пара смежных сторон равных.


• Ромб, у которого один из углов равен 90°.

2. Вписанная окружность

Определение: Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех сторон этого многоугольника.

Теорема: В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника.

3. Задача

Дано:

• Треугольник ABC.


• AD — биссектриса.


• AB = 6 см


• BC = 7 см


• AC = 8 см

Найти: Отрезки BD и DC.

Решение:

Согласно свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть:

\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{BD}{DC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]

Также мы знаем, что сумма отрезков BD и DC равна всей стороне BC:

\[ BD + DC = BC = 7 \text{ см} \]

Из первого уравнения выразим DC:

\[ DC = \frac{4}{3} BD \]

Подставим это во второе уравнение:

\[ BD + \frac{4}{3} BD = 7 \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{3}{3} BD + \frac{4}{3} BD = 7 \]

\[ \frac{7}{3} BD = 7 \]

Теперь найдем BD:

\[ BD = 7 \times \frac{3}{7} = 3 \text{ см} \]

Найдем DC:

\[ DC = 7 - BD = 7 - 3 = 4 \text{ см} \]

Ответ: Отрезки, на которые биссектриса AD делит сторону BC, равны 3 см и 4 см.