Билет 14. 1. Сформулировать признаки равенства прямоугольных треугольников. 2. Доказать свойство внешнего угла треугольника. 3. Доказать, что прямые а и в параллельны. 4) В прямоугольном треугольнике КРЕ ∠P=90°, ∠K=60°. На катете РЕ отметили точку М такую, что ∠KMP=60°. Найдите МР, если ЕМ=16 с.

Билет 14

1. Признаки равенства прямоугольных треугольников:
   1. По двум катетам (по двум катетам).
   2. По катету и прилежащему острому углу (по катету и прилежащему острому углу).
   3. По катету и противолежащему острому углу (по катету и противолежащему острому углу).
   4. По гипотенузе и катету (по гипотенузе и катету).
   5. По гипотенузе и острому углу (по гипотенузе и острому углу).
2. Свойство внешнего угла треугольника: Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.
3. Доказательство параллельности прямых:

   Дано: Две прямые $$a$$ и $$b$$, пересеченные секущей. Угол, равный $$133^ 0$$, и угол, равный $$47^ 0$$.

   Доказать: $$a || b$$

   Доказательство:

   1. Угол $$133^ 0$$ и смежный с ним угол образуют развернутый угол, равный $$180^ 0$$.
   2. Сумма смежных углов равна $$180^ 0$$. Следовательно, смежный угол равен $$180^ 0 - 133^ 0 = 47^ 0$$.
   3. Угол $$47^ 0$$ и угол $$47^ 0$$ (при секущей) являются накрест лежащими углами.
   4. Так как накрест лежащие углы равны, то прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны.
4. Решение задачи:

   В прямоугольном треугольнике КРЕ:

   • \( \angle P = 90^ 0 \)
   • \( \angle K = 60^ 0 \)
   • \( \angle E = 180^ 0 - 90^ 0 - 60^ 0 = 30^ 0 \)

   На катете РЕ отмечена точка М, такая что \( \angle KMP = 60^ 0 \).

   Рассмотрим треугольник КМЕ:

   • \( \angle KEM = \angle E = 30^ 0 \)
   • \( \angle KME = 180^ 0 - \angle KMP = 180^ 0 - 60^ 0 = 120^ 0 \) (смежные углы)
   • \( \angle MKE = 180^ 0 - 30^ 0 - 120^ 0 = 30^ 0 \)

   Так как \( \angle KEM = \angle MKE = 30^ 0 \), то треугольник КМЕ равнобедренный с основанием КМ. Следовательно, \( ME = KE \).

   Теперь рассмотрим треугольник КРМ:

   • \( \angle P = 90^ 0 \)
   • \( \angle KMP = 60^ 0 \)
   • \( \angle MKP = 180^ 0 - 90^ 0 - 60^ 0 = 30^ 0 \)

   В прямоугольном треугольнике КРМ катет МР лежит против угла \( \angle MKP = 30^ 0 \). По свойству катета, лежащего против угла в $$30^ 0$$, этот катет равен половине гипотенузы КМ.

   \( MP = \frac{1}{2} KM \)

   Из равнобедренного треугольника КМЕ мы знаем, что \( KM = ME \). Дано \( EM = 16 \) см.

   Следовательно, \( KM = 16 \) см.

   \( MP = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8 \) см.

Ответ: 8 см.