Билет № 14 1) Сформулируйте теоремы об углах между касательной и хордой, между двумя хордами, между двумя секущими. 2) Сформулируйте и докажите свойство углов при основании равнобедренной трапеции. 3) Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите медиану этого треугольника. 4) Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает его сторону ВС в точке Е. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если ВЕ=7, ЕС=3, ∠ABC-150°.

Задание 1: Теоремы об углах

Теорема об угле между касательной и хордой: Величина угла между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равна половине угловой величины дуги, заключенной между этими сторонами.

Теорема о пересекающихся хордах: Если две хорды пересекаются внутри круга, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Теорема о пересекающихся секущих: Если из точки, находящейся вне круга, проведены две секущие, то произведение одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению другой секущей на ее внешнюю часть.

Задание 2: Свойство углов равнобедренной трапеции

Сформулировка: Углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны.

Доказательство:

1. Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC, где AB = CD.


2. Проведем высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD.


3. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и DCK.


4. AB = CD (по условию, так как трапеция равнобедренная).


5. BH = CK (как высоты, проведенные к одному основанию между параллельными прямыми BC и AD).


6. Следовательно, треугольники ABH и DCK равны по гипотенузе и катету (или по гипотенузе и острому углу, если рассматривать углы при основании).


7. Из равенства треугольников следует, что ∠BAH = ∠CDK (углы при основании AD).


8. Аналогично можно доказать равенство углов при основании BC (∠ABC = ∠DCB).

Задание 3: Медиана равностороннего треугольника

Дано: Равносторонний треугольник со стороной $$a = 16\root{3}\text{ см}$$.

Найти: Медиану $$m_a$$.

Решение:

В равностороннем треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают.

Найдем длину медианы (высоты), используя теорему Пифагора или формулу высоты в равностороннем треугольнике.

Формула высоты (и медианы) в равностороннем треугольнике: $$h = \frac{a\root{3}}{2}$$

Подставим значение стороны:

\[ m_a = \frac{(16\root{3}) \times \root{3}}{2} \]
\[ m_a = \frac{16 \times (\root{3})^2}{2} \]
\[ m_a = \frac{16 \times 3}{2} \]
\[ m_a = \frac{48}{2} \]
\[ m_a = 24 \text{ см} \]

Ответ: 24 см

Задание 4: Площадь параллелограмма

Дано: Параллелограмм ABCD, биссектриса AE, BE=7, EC=3, ∠ABC=150°.

Найти: Площадь ABCD.

Решение:

1. Длина стороны BC: $$BC = BE + EC = 7 + 3 = 10$$.


2. Свойство биссектрисы в параллелограмме: Так как AE — биссектриса угла A, то ∠BAE = ∠DAE. Также, так как AD || BC, то ∠DAE = ∠AEB (как накрест лежащие углы). Следовательно, ∠BAE = ∠AEB. Это означает, что треугольник ABE — равнобедренный, и AB = BE.


3. Длина стороны AB: AB = BE = 7.


4. Длина стороны AD: В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AD = BC = 10.


5. Высота параллелограмма: Проведем высоту BH из вершины B к стороне AD (или к ее продолжению). Угол ∠ABC = 150°, поэтому смежный угол ∠BAD = 180° - 150° = 30°.


6. Высота BH в треугольнике ABH (где H лежит на AD или на ее продолжении): $$BH = AB \times \text{sin}(\text{∠BAD}) = 7 \times \text{sin}(30°) = 7 \times \frac{1}{2} = 3.5$$.


7. Площадь параллелограмма: $$S_{ABCD} = \text{основание} \times \text{высота} = AD \times BH = 10 \times 3.5 = 35$$.

Ответ: 35