Билет № 15. 1. Определение центрального и вписанного угла; следствия. 2. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК = 7, CK = 12.

Решение:

1. Определение центрального и вписанного угла; следствия.

Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности. Величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается.

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. Следствие: вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

2. Периметр параллелограмма.

Дано: ABCD — параллелограмм. АК — биссектриса угла А. ВК = 7, СК = 12.

Найти: Периметр параллелограмма.

1. Свойства биссектрисы и параллелограмма:
• Биссектриса делит угол пополам.
• Противоположные стороны параллелограмма равны (AB=CD, BC=AD).
• Противоположные углы параллелограмма равны (∠A=∠C, ∠B=∠D).
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (∠A+∠B=180°).
• Параллельные прямые (AB || DC, AD || BC) и секущая (АК).
2. Рассмотрим угол ∠BAK и ∠AKB:
• Так как АК — биссектриса ∠A, то ∠BAK = ∠DAK.
• Так как AD || BC, то ∠DAK = ∠AKB (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей АК).
• Следовательно, ∠BAK = ∠AKB.
3. Вывод о треугольнике ABK:
• Треугольник ABK является равнобедренным, так как ∠BAK = ∠AKB.
• В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие против равных углов, равны. Следовательно, AB = BK.
4. Находим длины сторон:
• По условию, ВК = 7. Значит, AB = 7.
• Так как ABCD — параллелограмм, то CD = AB = 7.
• По условию, СК = 12.
• Сторона BC = BK + CK = 7 + 12 = 19.
• Так как ABCD — параллелограмм, то AD = BC = 19.
5. Вычисляем периметр:
• Периметр параллелограмма P = 2 * (AB + BC).
• P = 2 * (7 + 19) = 2 * 26 = 52.

Ответ: 52