Билет 15. 2. Доказать свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°. Сформулировать обратное утверждение.

Свойство. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

Доказательство. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC \(\angle C=90°\), \(\angle A=30°\), а BC — катет напротив угла A. Продолжим BC за точку C и отложим CD=BC. Соединим A и D.

Треугольники ACB и ACD равны по двум катетам: AC — общий, BC=CD. Поэтому \(\angle BAC=\angle CAD=30°\), а AB=AD. Тогда \(\angle BAD=60°\). В равнобедренном треугольнике BAD углы при основании равны; каждый равен \((180°-60°)/2=60°\). Значит, треугольник BAD равносторонний, и \(AB=BD=BC+CD=2BC\). Следовательно, \(BC=AB/2\).

Обратное утверждение: если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30°.

Обоснование обратного утверждения. Пусть \(BC=AB/2\), где AB — гипотенуза, а \(\angle C=90°\). По теореме синусов \(\sin A=BC/AB=1/2\). Так как A — острый угол, \(\angle A=30°\).