Билет № 17. 1. Какой треугольник называется остроугольным? тупоугольным? прямоугольным? Как называются стороны прямоугольного треугольника? 2. Внутренние углы треугольника АВС пропорциональны числам 3,5,7. Найдите углы треугольника АВС и внешние углы треугольника ABC. 3. Отрезки CD и АВ пересекаются в точке О так, что АО = OB, AC || DB. Докажите, что треугольник АОС равен треугольнику DOB.

Решение:

Билет № 17

1. • Остроугольный треугольник: треугольник, у которого все углы острые (меньше 90°).
   • Тупоугольный треугольник: треугольник, у которого один угол тупой (больше 90°).
   • Прямоугольный треугольник: треугольник, у которого один угол прямой (равен 90°).
   Стороны прямоугольного треугольника называются:
   • Катеты: стороны, прилежащие к прямому углу.
   • Гипотенуза: сторона, лежащая напротив прямого угла.

2. Внутренние углы:

   • Пусть углы равны $$3x$$, $$5x$$, $$7x$$.
   • Сумма углов треугольника равна 180°: $$3x + 5x + 7x = 180°$$.
   • $$15x = 180°$$
   • $$x = 180° / 15 = 12°$$.
   • Углы треугольника АВС:
   • $$3x = 3 imes 12° = 36°$$.
   • $$5x = 5 imes 12° = 60°$$.
   • $$7x = 7 imes 12° = 84°$$.
   Внешние углы: внешний угол треугольника равен сумме двух других внутренних углов.
   • $$180° - 36° = 144°$$.
   • $$180° - 60° = 120°$$.
   • $$180° - 84° = 96°$$.

3. Доказательство равенства треугольников $$ riangle AOC$$ и $$ riangle DOB$$:

   Дано:

   • CD и AB пересекаются в точке O.
   • AO = OB.
   • AC || DB.

   Доказать: $$ riangle AOC = riangle DOB$$.

   Доказательство:

   1. Рассмотрим треугольники $$ riangle AOC$$ и $$ riangle DOB$$.
   2. AO = OB (по условию).
   3. $$ riangle AOC$$ и $$ riangle DOB$$ являются вертикальными углами, следовательно, $$ riangle AOC = riangle DOB$$.
   4. Углы $$ riangle CAB$$ и $$ riangle DBA$$ являются накрест лежащими при параллельных прямых AC и DB и секущей AB. Следовательно, $$ riangle CAB = riangle DBA$$.
   5. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): $$ riangle AOC = riangle DOB$$.