Билет № 18. 1. Какой отрезок называется наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой? Что называется расстоянием от точки до прямой? 2. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, а сумма длин гипотенузы и меньшего из катетов равна 16,5 см. Найдите гипотенузу треугольника. 3. В окружности с центром О проведены хорды АВ и CD так, что АВ = CD. Точки Е и F – середины хорд АВ и CD соответственно. Докажите, что OE = OF.

Решение:

Билет № 18

1. • Наклонная: Отрезок, соединяющий точку, не лежащую на прямой, с точкой на этой прямой.
   • Расстояние от точки до прямой: Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

2. Дано:

   • Прямоугольный треугольник.
   • Один из углов равен 60°.
   • Гипотенуза + меньший катет = 16,5 см.

   Найти: Гипотенузу.

   Решение:

   1. В прямоугольном треугольнике углы равны 90°, 60° и 30° (так как сумма углов равна 180°).
   2. Меньший катет лежит напротив меньшего острого угла (30°).
   3. Пусть гипотенуза равна $$c$$, а меньший катет равен $$a$$.
   4. Известно, что $$c + a = 16,5$$ см.
   5. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы: $$a = c/2$$.
   6. Подставим это в уравнение: $$c + c/2 = 16,5$$.
   7. $$3c/2 = 16,5$$.
   8. $$c = 16,5 imes 2 / 3 = 33 / 3 = 11$$ см.

3. Доказательство равенства отрезков OE и OF:

   Дано:

   • Окружность с центром O.
   • Хорды AB и CD, AB = CD.
   • E – середина AB, F – середина CD.

   Доказать: OE = OF.

   Доказательство:

   1. Проведем отрезки OE и OF.
   2. Так как E – середина хорды AB, то $$AE = EB = AB/2$$.
   3. Так как F – середина хорды CD, то $$CF = FD = CD/2$$.
   4. Поскольку $$AB = CD$$, то $$AB/2 = CD/2$$, следовательно, $$AE = CF$$.
   5. Отрезок OE является высотой в равнобедренном треугольнике $$ riangle AOB$$ (так как AO = OB – радиусы), и он перпендикулярен хорде AB.
   6. Аналогично, отрезок OF является высотой в равнобедренном треугольнике $$ riangle COD$$ (так как CO = OD – радиусы), и он перпендикулярен хорде CD.
   7. Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ riangle OEA$$ и $$ riangle OFC$$.
   8. $$OA = OC$$ (радиусы окружности).
   9. $$AE = CF$$ (доказано выше).
   10. По теореме Пифагора: $$OE^2 = OA^2 - AE^2$$ и $$OF^2 = OC^2 - CF^2$$.
   11. Так как $$OA = OC$$ и $$AE = CF$$, то $$OA^2 = OC^2$$ и $$AE^2 = CF^2$$.
   12. Следовательно, $$OE^2 = OF^2$$, откуда $$OE = OF$$.

Ответ: Гипотенуза равна 11 см.