Билет №19. 1. Параллельные прямые. Расстояние между параллельными прямыми. 2. Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. 3. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный. 4. Задача на тему «Свойства параллельных прямых». Найти все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из них равен 42°.

1. Параллельные прямые. Расстояние между параллельными прямыми.

Параллельные прямые — это прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. Расстояние между параллельными прямыми — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую.

2. Доказательство теоремы о катете прямоугольного треугольника.

Дано: прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle A = 30^\circ \).

Доказать: катет BC равен половине гипотенузы AB.

Доказательство:

1. Проведем медиану CM к гипотенузе AB.
2. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: \( CM = AM = MB = \frac{1}{2} AB \).
3. Рассмотрим треугольник AMC. Так как \( AM = CM \), то треугольник AMC равнобедренный.
4. \( \angle MAC = \angle MCA = 30^\circ \) (как углы при основании равнобедренного треугольника).
5. \( \angle MCB = \angle ACB - \angle MCA = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
6. Рассмотрим треугольник CMB. Он равнобедренный, так как \( CM = MB \).
7. \( \angle MBC = \angle MCB = 60^\circ \) (как углы при основании равнобедренного треугольника).
8. \( \angle CMB = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ \).
9. Следовательно, треугольник CMB — равносторонний, и \( BC = CM \).
10. Так как \( CM = \frac{1}{2} AB \), то \( BC = \frac{1}{2} AB \).

Что и требовалось доказать.

3. Доказательство того, что треугольник АВС — равнобедренный.

Дано: Треугольник ABC с углами \( \angle A = 70^\circ \), \( \angle C = 110^\circ \).

Доказать: Треугольник ABC — равнобедренный.

Решение:

Сумма углов треугольника равна 180°. Найдем угол B:

\( \angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (70^\circ + 110^\circ) = 180^\circ - 180^\circ = 0^\circ \).

Угол в треугольнике не может быть равен 0°. В условии, вероятно, ошибка. Если предположить, что \( \angle C \) — внешний угол при вершине C, то:

\( \angle ACB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).

Тогда:

\( \angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle ACB) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \).

Так как \( \angle A = \angle ACB = 70^\circ \), то треугольник ABC является равнобедренным с основаниями AC.

(Предполагая, что 110° - внешний угол при вершине C)

4. Задача на тему «Свойства параллельных прямых».

Дано: Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из образованных углов равен \( 42^\circ \).

Найти: Все остальные углы.

Решение:

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются 8 углов. Они образуют пары накрест лежащих, соответственных и смежных углов.

Пусть данный угол равен \( \alpha = 42^\circ \).

1. Вертикальные углы: Вертикальный угол к данному равен \( 42^\circ \).
2. Смежные углы: Смежный с данным угол равен \( 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ \).
3. Вертикальный угол к смежному: Вертикальный угол к углу \( 138^\circ \) равен \( 138^\circ \).
4. Накрест лежащие углы: Накрест лежащий угол к \( 42^\circ \) равен \( 42^\circ \) (так как прямые параллельны).
5. Соответственные углы: Соответственный угол к \( 42^\circ \) равен \( 42^\circ \).
6. Смежный с соответственным: Смежный с соответственным угол равен \( 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ \).
7. Вертикальный к смежному с соответственным: Вертикальный к \( 138^\circ \) равен \( 138^\circ \).

Таким образом, образуются четыре угла по \( 42^\circ \) и четыре угла по \( 138^\circ \).

Ответ: 42°, 138°, 42°, 138°, 42°, 138°, 42°, 138°.