Билет 19 1 Квадрат. Свойства квадрата. Формула площади квадрата. Формула периметра квадрата. 2 Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника. 3 Высота ВН параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки АН=9 и HD=65. Диагональ параллелограмма BD равна 97. Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

1. Свойства квадрата:
   • Все стороны равны.
   • Все углы прямые.
   • Диагонали равны, взаимно перпендикулярны и делят углы квадрата пополам.
   • Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
   Формула площади квадрата: \( S = a^2 \), где \( a \) — длина стороны квадрата.
2. Формула периметра квадрата: \( P = 4a \), где \( a \) — длина стороны квадрата.
3. Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.
4. Доказательство: Пусть \( MN \) — средняя линия \( \triangle ABC \), где \( M \) — середина \( AB \), \( N \) — середина \( AC \). По теореме Фалеса, если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной стороне пропорциональные отрезки, то они отсекают пропорциональные отрезки и на другой стороне. Так как \( AM = MB \) и \( AN = NC \), то \( MN \parallel BC \). Также \( MN = \frac{1}{2} BC \).
5. Задача 3:

   Дано:

   Параллелограмм \( ABCD \), \( BH \perp AD \), \( H \in AD \).

   \( AH = 9 \) см, \( HD = 65 \) см, \( BD = 97 \) см.

   Найти:

   Площадь параллелограмма \( S_{ABCD} \).

   Решение:

   1. Рассмотрим \( \triangle BHD \). Это прямоугольный треугольник, так как \( BH \perp AD \).

   По теореме Пифагора:

   \[ BD^2 = BH^2 + HD^2 \]\[ 97^2 = BH^2 + 65^2 \]\[ 9409 = BH^2 + 4225 \]\[ BH^2 = 9409 - 4225 \]\[ BH^2 = 5184 \]\[ BH = \(\sqrt{5184}\) = 72 \) см.
6. Высота параллелограмма, опущенная на сторону AD, равна 72 см.
7. Найдем площадь параллелограмма:

\( S_{ABCD} = AD \cdot BH \)

\( AD = AH + HD = 9 + 65 = 74 \) см.

\[ S_{ABCD} = 74 \(\text{ см}\) \(\cdot\) 72 \(\text{ см}\) = 5328 \) см².

Ответ: Площадь параллелограмма равна 5328 см².