Билет № 2. 1. Параллелограмм, признаки параллелограмма, трапеция. 2. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 16 см, а больший угол равен 135°. 3. Какие из следующих утверждений Верны? В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. 1) Через точку, не лежащую на данной прямой можно провести прямую параллельную этой прямой; 2) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом; 3) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

Билет № 2

1. Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Признаки параллелограмма: 1) Если у четырёхугольника противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. 2) Если у четырёхугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. 3) Если у четырёхугольника противоположные углы попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Трапеция — это четырёхугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.
2. В прямоугольной трапеции две стороны параллельны (основания), а две другие стороны перпендикулярны основаниям. Одна из меньших сторон (16 см) является высотой трапеции. Больший угол равен 135°, значит, меньший угол у основания равен \( 180° - 135° = 45° \). В прямоугольной трапеции, где один из углов равен 45°, другая боковая сторона найдётся из прямоугольного треугольника, образованного меньшей боковой стороной (высотой), второй боковой стороной и частью большего основания. Пусть \( h = 16 \) см — высота, \( b_1 \) — меньшее основание, \( b_2 \) — большее основание. Угол при основании равен 45°. Тогда \( h = 16 \) см. Вычислим второе основание. Опустим высоту из вершины с углом 45° на большее основание. Получим прямоугольный треугольник с углом 45° и катетом 16 см. Второй катет (разница между основаниями) также будет равен 16 см. Тогда \( b_2 = b_1 + 16 \). Площадь трапеции \( S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h = \frac{b_1 + (b_1 + 16)}{2} \cdot 16 = (2b_1 + 16) \cdot 8 = 16b_1 + 128 \). Задача не может быть решена без знания одного из оснований. Предположим, что меньшие стороны — это высота и меньшее основание. Тогда \( h = 16 \) см, \( b_1 = 16 \) см. Больший угол 135°, значит, угол при основании равен 45°. Тогда \( b_2 = b_1 + h = 16 + 16 = 32 \) см. Площадь \( S = \frac{16+32}{2} \cdot 16 = \frac{48}{2} \cdot 16 = 24 \cdot 16 = 384 \) см².
3. 1) Верно. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной (аксиома Евклида).
4. Неверно. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
5. Верно. Расстояние от точки на окружности до центра окружности по определению равно радиусу.

Ответ: 384 см²; 13