Билет 2. 1. Свойства арифметического квадратного корня. 2. А) Для функции f (x) = 3x^2 - x^3 + 2 найдите f (0), f (1), f (-3), f (5). Б) Постройте график функции y = -x^2 + 2. 3. Решить неравенство (1/5)^x < 5/6.

Билет 2

1. Свойства арифметического квадратного корня.

Ключевые свойства арифметического квадратного корня:

• Определение: \( \sqrt{a} \) — это неотрицательное число, квадрат которого равен \( a \).
• Квадратный корень из квадрата числа: \( \sqrt{a^2} = |a| \)
• Свойства подкоренных выражений:
• \( \sqrt{ab} = \sqrt{a}
  \sqrt{b} \) (при \( a
  0, b
  0 \))
• \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) (при \( a
  0, b > 0 \))
• Квадратный корень из степени: \( \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} \)

2. А) Для функции \( f(x) = 3x^2 - x^3 + 2 \) найдите \( f(0), f(1), f(-3), f(5) \).

Подставим значения \( x \) в функцию:

• \( f(0) = 3(0)^2 - 0^3 + 2 = 0 - 0 + 2 = 2 \)
• \( f(1) = 3(1)^2 - 1^3 + 2 = 3 - 1 + 2 = 4 \)
• \( f(-3) = 3(-3)^2 - (-3)^3 + 2 = 3(9) - (-27) + 2 = 27 + 27 + 2 = 56 \)
• \( f(5) = 3(5)^2 - 5^3 + 2 = 3(25) - 125 + 2 = 75 - 125 + 2 = -48 \)

2. Б) Постройте график функции \( y = -x^2 + 2 \).

Это график параболы, ветви которой направлены вниз. График функции \( y = -x^2 \) смещён на 2 единицы вверх вдоль оси \( y \).

3. Решить неравенство \( \left( \frac{1}{5} \right)^x < \frac{5}{6} \).

Перепишем \( \frac{1}{5} \) как \( 5^{-1} \). Неравенство примет вид:

\( (5^{-1})^x < \frac{5}{6} \)

\( 5^{-x} < \frac{5}{6} \)

Возьмём логарифм по основанию 5 от обеих частей неравенства. Так как основание логарифма \( 5 > 1 \), знак неравенства сохраняется:

\( \log_5(5^{-x}) < \log_5(\frac{5}{6}) \)

\( -x < \log_5(5) - \log_5(6) \)

\( -x < 1 - \log_5(6) \)

Умножим обе части на \( -1 \) и сменим знак неравенства:

\( x > -1 + \log_5(6) \)

\( x > \log_5(6) - 1 \)

\( x > \log_5(6) - \log_5(5) \)

\( x > \log_5(\frac{6}{5}) \)

\( x > \log_5(1.2) \)

Ответ: \( x > \log_5(1.2) \).