Билет №20: 1. Трапеция. Доказательство теоремы о средней линии трапеции. 2. Вывод значений тригонометрических функций для угла в 30°.

Решение:

• 1. Трапеция: Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.Теорема о средней линии трапеции: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме оснований.Доказательство: Пусть ABCD – трапеция с основаниями BC и AD (BC || AD). MN – средняя линия, где M – середина AB, N – середина CD. Проведем диагональ AC. Пусть P – точка пересечения MN и AC. Так как MN || AD, то MP || AD. В треугольнике ABC, M – середина AB, MP || BC (так как BC || AD || MP). По теореме Фалеса, MP = 1/2 BC. Аналогично, рассмотрим треугольник ADC. N – середина CD, NP || AD. По теореме Фалеса, NP = 1/2 AD. Средняя линия MN = MP + NP = 1/2 BC + 1/2 AD = (BC + AD) / 2. Так как MP || BC и NP || AD, то вся линия MN || AD и MN || BC.
• 2. Значения тригонометрических функций для угла 30°:Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, и угол A = 30°. Тогда угол B = 180° - 90° - 30° = 60°. В прямоугольном треугольнике, катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Пусть BC = a, тогда AB = 2a. Найдем катет AC по теореме Пифагора: AC² = AB² - BC² = (2a)² - a² = 4a² - a² = 3a². Значит, AC = √(3a²) = a√3.
  • sin 30° = (противолежащий катет) / (гипотенуза) = a / (2a) = 1/2
  • cos 30° = (прилежащий катет) / (гипотенуза) = (a√3) / (2a) = √3/2
  • tg 30° = (противолежащий катет) / (прилежащий катет) = a / (a√3) = 1/√3 = √3/3