Билет 20 1 Сформулируйте определение центрального и вписанного углов, теоремы о вписанном угле. 2 Сформулируйте и докажите свойство биссектрисы угла параллелограмма. 3 С Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.

Решение:

1. Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности. Его стороны пересекают окружность.
2. Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
3. Теорема о вписанном угле: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу, или половине градусной меры дуги, которую он высекает. \( \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \text{ дуга } AC \)
4. Свойство биссектрисы угла параллелограмма: Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него треугольник, который является равнобедренным.
5. Доказательство: Пусть \( ABCD \) — параллелограмм, \( BK \) — биссектриса \( \angle ABC \). Так как \( BK \) — биссектриса, то \( \angle ABK = \angle KBC \). Так как \( AD \parallel BC \), то \( \angle KBC = \angle AKB \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AD \) и \( BC \) и секущей \( BK \). Следовательно, \( \angle ABK = \angle AKB \). Это означает, что \( \triangle ABK \) — равнобедренный треугольник с основанием \( BK \), и \( AB = AK \).
6. Задача 3:

   Дано:

   Параллелограмм \( ABCD \).

   Диагональ \( BD \) образует с \( AB \) угол \( \angle ABD = 65^{\circ} \).

   Диагональ \( BD \) образует с \( BC \) угол \( \angle DBC = 50^{\circ} \).

   Найти:

   Меньший угол параллелограмма.

   Решение:

   1. Так как \( ABCD \) — параллелограмм, то \( AB \parallel CD \) и \( AD \parallel BC \).

   2. Угол \( \angle BDC = \angle ABD = 65^{\circ} \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AB \) и \( CD \) и секущей \( BD \).

   3. Угол \( \angle ADB = \angle DBC = 50^{\circ} \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AD \) и \( BC \) и секущей \( BD \).

   4. Найдем углы \( \angle ADC \) и \( \angle ABC \):

   \( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 50^{\circ} + 65^{\circ} = 115^{\circ} \).

   Угол \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 65^{\circ} + 50^{\circ} = 115^{\circ} \).

   5. В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому \( \angle ABC = \angle ADC = 115^{\circ} \) и \( \angle BAD = \angle BCD \).

   6. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°.

   \( \angle BAD + \angle ADC = 180^{\circ} \)

   \[ \angle BAD + 115^{\circ} = 180^{\circ} \]\[ \angle BAD = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ} \].

   Следовательно, \( \angle BCD = 65^{\circ} \).

   7. Углы параллелограмма равны \( 115^{\circ} \) и \( 65^{\circ} \).

   8. Меньший угол параллелограмма равен \( 65^{\circ} \).

Ответ: Меньший угол параллелограмма равен 65°.