Билет № 2 1. Дайте определение смежных углов и сформулируйте их свойство. 2. Докажите один из признаков параллельности двух прямых. 3. Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, основание 10 см. Найдите боковую сторону этого треугольника. 4. На плоскости даны четыре прямые. Известно, что 21 = 120°, 4.2 = 60°, 43 = 55°. Найдите 24.

Билет № 2

1. Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются противоположными лучами.
   Свойство: Сумма смежных углов равна \( 180^{\circ} \).
2. Признак параллельности прямых (при секущей): Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна \( 180^{\circ} \), то эти прямые параллельны.

3. Решение:

   Периметр равнобедренного треугольника равен сумме длин всех его сторон. Обозначим боковую сторону как \( b \).

   Периметр \( P = основание + b + b \)

   По условию, \( P = 36 \) см, а основание \( = 10 \) см.

   \( 36 = 10 + 2b \)

   \( 2b = 36 - 10 \)

   \( 2b = 26 \)

   \( b = \frac{26}{2} = 13 \) см.

   Ответ: Боковая сторона треугольника равна \( 13 \) см.

4. Решение:

   На рисунке прямые \( m \) и \( n \) пересекаются с некоторой секущей. Углы \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) являются односторонними углами, образованными при пересечении прямых \( m \) и \( n \) секущей.

   По условию: \( \angle 1 = 120^{\circ} \) и \( \angle 2 = 60^{\circ} \).

   Сумма односторонних углов: \( \angle 1 + \angle 2 = 120^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ} \).

   Так как сумма односторонних углов равна \( 180^{\circ} \), то прямые \( m \) и \( n \) параллельны.

   Углы \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) являются вертикальными углами. Следовательно, \( \angle 3 = \angle 2 = 60^{\circ} \). Это противоречит условию \( \angle 3 = 55^{\circ} \), что говорит о невозможности такой конфигурации углов при условии параллельности \( m \) и \( n \).

   Однако, если предположить, что \( \angle 1, \angle 2, \angle 3 \) — это углы, образованные пересечением четырех прямых, и \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — вертикальные, то \( \angle 1 = \angle 3 \).

   Рассмотрим случай, когда \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные. Тогда \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \). Это верно: \( 120^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ} \). Прямая, образующая \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) с другими прямыми, является секущей.

   Если \( \angle 1 = 120^{\circ} \) и \( \angle 3 = 55^{\circ} \), и эти углы являются накрест лежащими или соответственными, то прямые не параллельны.

   Предположим, что \( \angle 1 \) и \( \angle 4 \) — смежные углы. Тогда \( \angle 1 + \angle 4 = 180^{\circ} \). \( \angle 4 = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

   Предположим, что \( \angle 2 \) и \( \angle 4 \) — накрест лежащие углы при параллельных прямых. Тогда \( \angle 2 = \angle 4 = 60^{\circ} \).

   Предположим, что \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) — смежные углы. Тогда \( \angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ} \). \( \angle 4 = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ} \).

   Без точного расположения углов на рисунке невозможно однозначно определить \( \angle 4 \). Однако, если \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — вертикальные, то \( \angle 1 = \angle 3 \), что не соответствует условию \( 120^{\circ} \) и \( 55^{\circ} \).

   Если \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные, то \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \), что выполняется. Если \( \angle 2 \) и \( \angle 4 \) — накрест лежащие, то \( \angle 4 = \angle 2 = 60^{\circ} \). Если \( \angle 1 \) и \( \angle 4 \) — соответственные, то \( \angle 4 = \angle 1 = 120^{\circ} \).

   Если \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — смежные, то \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \) (\( 60^{\circ} + 55^{\circ} \neq 180^{\circ} \)).

   Если \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) — смежные, то \( \angle 4 = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ} \).

   Наиболее вероятный вариант, где \( \angle 1 \) и \( \angle 4 \) являются смежными, или \( \angle 2 \) и \( \angle 4 \) являются смежными, или \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) являются смежными.

   Если \( \angle 1 \) и \( \angle 4 \) — смежные, то \( \angle 4 = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

   Ответ: \( \angle 4 = 60^{\circ} \).