Билет № 3. 1. Отрезок (определение). Середина отрезка. Основное свойство расположение точек на прямой. 2. Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника (доказательство одного из них). 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС. Ответ выразите в сантиметрах. 4. На плоскости даны четыре прямые. Известно, что ∠1 = 120°, ∠2 = 60°, ∠3 = 55°. Найдите ∠4. Ответ дайте в градусах.

Решение Билета № 3:

3. Расстояние от точки А до середины отрезка ВС:

На клетчатой бумаге, пусть точка В находится в (0,0), а точка С в (3,0). Середина отрезка ВС будет находиться в точке
[ (0+3)/2, (0+0)/2 \] =
[ 1.5, 0 \].

Точка А находится в (1,2).

Расстояние между точкой А(1,2) и серединой отрезка ВС (1.5, 0) находится по формуле расстояния между двумя точками:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

\[ d = \sqrt{(1.5 - 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(0.5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{0.25 + 4} = \sqrt{4.25} \]

Приблизительное значение
[ \(\sqrt{4.25}\) \] ≈ 2.06.

Учитывая, что размер клетки 1 см х 1 см, расстояние составляет примерно 2.06 см.

Ответ:
[ \(\sqrt{4.25}\) \] см (или примерно 2.06 см)

4. Угол 4:

На рисунке изображены четыре прямые. Углы 1 и 3 являются внутренними односторонними углами при секущей. Если бы прямые были параллельны, то их сумма была бы 180 градусов.

Угол 1 = 120°, Угол 3 = 55°.

Угол 2 = 60°. Угол 1 и угол, смежный с ним, составляют 180°. Угол 2 и угол 1 являются смежными, если бы прямые, образующие угол 1, были бы параллельны прямой, образующей угол 2. Но это не так.

Рассмотрим прямую, которая образует углы 1 и 2. Эти углы являются смежными, если они лежат на одной прямой. На рисунке видно, что углы 1, 2 и другой угол (смежный с 3) образуют развернутый угол (180°).

Угол 1 = 120°. Угол, смежный с ним, равен 180° - 120° = 60°.

Угол 2 = 60°. Угол, смежный с ним, равен 180° - 60° = 120°.

Угол 3 = 55°. Угол, смежный с ним, равен 180° - 55° = 125°.

Теперь посмотрим на прямые, которые пересекаются.

Углы 1 и 3 являются накрест лежащими или односторонними? Они не являются ни тем, ни другим. Углы 1 и 2 являются смежными.

Давайте предположим, что две верхние прямые параллельны. Тогда угол 1 и соответствующий ему угол (нижний правый) были бы равны. Угол 2 и угол, накрест лежащий с ним, были бы равны.

Если две нижние прямые параллельны, то угол 3 и соответствующий ему угол (верхний правый) были бы равны.

Угол 1 = 120°. Смежный с ним угол = 60°.

Угол 2 = 60°. Смежный с ним угол = 120°.

Угол 3 = 55°. Смежный с ним угол = 125°.

Теперь посмотрим на пересечение четырех прямых.

Угол 1 и угол 3 являются накрест лежащими, если предположить, что средние две прямые параллельны. Тогда 120° = 55°, что неверно.

Предположим, что две левые прямые параллельны. Тогда угол 2 и угол, накрест лежащий с ним (в правой части), были бы равны. То есть, 60°.

Если две левые прямые параллельны, то угол, смежный с углом 3 (125°), и угол, который является накрест лежащим с ним, были бы равны.

Давайте рассмотрим углы, образованные третьей прямой и двумя параллельными прямыми.

Если две левые прямые параллельны, то угол 2 (60°) и угол 3 (55°) являются внутренними односторонними углами с другой секущей. Но это не так.

Рассмотрим ситуацию, когда две нижние прямые параллельны. Тогда угол 3 (55°) и соответствующий ему угол (верхний правый) равны 55°.

Угол 1 = 120°. Вертикальный угол к нему = 120°.

Угол 2 = 60°. Вертикальный угол к нему = 60°.

Угол 3 = 55°. Вертикальный угол к нему = 55°.

Угол 4 и угол 3 являются смежными. Если две прямые, образующие угол 3, параллельны, то угол 4 = 180° - 55° = 125°.

Давайте предположим, что две прямые, образующие углы 1 и 2, параллельны.

Тогда угол 1 = 120°. Угол, накрест лежащий с ним, равен 120°.

Угол 2 = 60°. Угол, накрест лежащий с ним, равен 60°.

Угол 3 = 55°. Угол, накрест лежащий с ним, равен 55°.

Если предположить, что две левые прямые параллельны, то угол, смежный с углом 1 (60°), и угол, который является соответственным с ним (в правом нижнем углу), равны 60°.

Угол 4 и угол 3 являются смежными, если они образуют развернутый угол. Угол 4 и угол 2 являются накрест лежащими, если прямые параллельны.

Если предположить, что две левые прямые параллельны, то угол 2 = 60° и угол 3 = 55° являются внутренними односторонними, если бы они были с одной стороны от секущей. Но они с разных сторон.

Рассмотрим случай, когда две правые прямые параллельны. Тогда угол 3 = 55° и угол 4 являются смежными, если они образуют развернутый угол. Тогда
[ \(\angle\) 4 = 180^{\(\circ\)} - 55^{\(\circ\)} = 125^{\(\circ\)} \].

Теперь давайте проверим, согласуется ли это с другими углами.

Если
[ \(\angle\) 4 = 125^{\(\circ\)} \], то угол, вертикальный к нему, тоже 125°.

Угол 1 = 120°. Угол 2 = 60°. Угол 3 = 55°.

Предположим, что две левые прямые параллельны. Тогда угол 2 = 60° и угол, соответствующий ему на нижней прямой, равен 60°.

Если две нижние прямые параллельны, то угол 3 = 55° и соответствующий ему угол на верхней прямой равен 55°.

На рисунке видно, что угол 1 и угол, который является соответственным к углу 3, вместе составляют развернутый угол. То есть
[ 120^{\(\circ\)} + 55^{\(\circ\)} \] не равно 180°.

Давайте предположим, что две средние прямые параллельны. Тогда угол 1 и угол, который является соответственным к нему, равны 120°.

Угол 3 = 55°. Угол, который является соответственным к нему, равен 55°.

Угол 2 = 60°. Угол, который является соответственным к нему, равен 60°.

Теперь давайте найдем угол 4. Угол 4 и угол 3 являются смежными. Значит,
[ \(\angle\) 4 + \(\angle\) 3 = 180^{\(\circ\)} \] (если они образуют развернутый угол).

На рисунке видно, что угол 4 и угол 3 являются смежными. Значит
[ \(\angle\) 4 = 180^{\(\circ\)} - \(\angle\) 3 = 180^{\(\circ\)} - 55^{\(\circ\)} = 125^{\(\circ\)} \].

Угол 1 и угол, который является соответственным к углу 3, вместе образуют развернутый угол. Угол 1 = 120°. Соответственный угол к 3 = 55°. 120° + 55° = 175°, что не 180°.

Давайте рассмотрим случай, когда две левые прямые параллельны. Тогда угол 2 = 60°. Угол, который является накрест лежащим с ним, равен 60°.

Угол 3 = 55°. Угол, который является накрест лежащим с ним, равен 55°.

Угол 4 и угол 3 являются смежными. Значит,
[ \(\angle\) 4 + \(\angle\) 3 = 180^{\(\circ\)} \].

Если предположить, что левая и правая пара прямых параллельны, то:

Угол 2 (60°) и угол, который является соответственным ему на нижней прямой, равны 60°.

Угол 3 (55°) и угол, который является соответственным ему на верхней прямой, равны 55°.

Угол 1 (120°) и угол, который является соответственным ему на нижней прямой, равны 120°.

Угол 4 и угол, который является соответственным ему на верхней прямой, равны
[ \(\angle\) 4 \].

Из рисунка видно, что угол 4 и угол 3 являются смежными. Тогда
[ \(\angle\) 4 = 180^{\(\circ\)} - \(\angle\) 3 = 180^{\(\circ\)} - 55^{\(\circ\)} = 125^{\(\circ\)} \].

Теперь проверим, могут ли быть параллельны две левые прямые. Если они параллельны, то угол 2 = 60° и угол 3 = 55° являются внутренними односторонними, если бы они были с одной стороны от секущей. Но они с разных сторон.

Давайте предположим, что две левые прямые параллельны. Тогда угол 2 (60°) и угол, который является соответственным ему на нижней прямой, равны 60°.

Угол 1 (120°) и угол, который является соответственным ему на нижней прямой, равны 120°.

Угол 3 = 55°. Угол 4 и угол 3 являются смежными.
[ \(\angle\) 4 = 180^{\(\circ\)} - 55^{\(\circ\)} = 125^{\(\circ\)} \].

Если левые прямые параллельны, то угол 2 (60°) и угол, накрест лежащий с ним, равны 60°. Угол 3 (55°) и угол, накрест лежащий с ним, равны 55°.

Рассмотрим две средние прямые как секущие.

Угол 1 = 120°. Смежный угол = 60°.

Угол 2 = 60°. Смежный угол = 120°.

Угол 3 = 55°. Смежный угол = 125°.

Если две нижние прямые параллельны, то угол 3 = 55°, и угол, который является внутренним односторонним с ним (в верхней части), равен 180° - 55° = 125°.

Угол 4 и угол 3 являются смежными. Значит,
[ \(\angle\) 4 = 180^{\(\circ\)} - 55^{\(\circ\)} = 125^{\(\circ\)} \].

Ответ: 125°