Билет № 3. 8. Найдите периметр ромба ABCD, если угол B равен 120°, а диагональ BD = 12 см.

Диагональ ромба делит угол при вершине B пополам, поэтому \(\angle ABD = 120° : 2 = 60°\). Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Если O — точка их пересечения, то \(BO = 12 : 2 = 6\) см и треугольник BOD прямоугольный.

В треугольнике BOD угол B равен 60°, а угол O — 90°, поэтому угол D равен 30°. Сторона ромба BD? Нет: BD — диагональ; сторона равна гипотенузе BO? Рассмотрим треугольник BOD: BO — катет, лежащий напротив угла 30°, поэтому сторона ромба \(BD\) не является стороной ромба, а сторона ромба \(AB = BD\) в треугольнике ABD. Из прямоугольного треугольника BOD гипотенуза \(BD\) (отрезок от вершины B до вершины D) в обозначении ромба является диагональю, следовательно, сторона \(AB = 2\cdot BO = 12\) см по треугольнику ABD с половиной угла 60°: \(AB = BD/\sqrt{3}\) было бы неприменимо к этой записи без вычисления второй диагонали. Правильнее: половина диагонали BD равна 6 см и лежит напротив угла 30° в прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей; значит, сторона ромба равна 12 см.

Периметр: \(P = 4 \cdot 12 = 48\) см.

Ответ: 48 см.